• Bentuk pangkat,Akar, dan Logaritma

    A. Bilangan Pangkat
    Tahukah Anda, berapa jarak antara matahari dan bumi? Ternyata jarak antara
    matahari dan bumi adalah 150.000.000 km. Penulisan jarak antara matahari
    dan bumi dapat ditulis dengan bilangan pangkat. Bagaimana caranya?
    Pangkat bilangan bulat dapat berupa bilangan bulat positif, nol, atau
    negatif.
    1. Pangkat Bulat Positif
    a. Pengertian Pangkat Bulat Positif
    Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca "a
    pangkat n") adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya
    adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk
    an a a a a
    n
    = × × ×... ×
    sebanyak faktor
    
    dengan: a = bilangan pokok (basis);
    n = pangkat atau eksponen;
    an = bilangan berpangkat.
    Dengan menggunakan konsep bilangan pangkat penulisan jarak antara
    matahari dan bumi, yaitu 150.000.000 km dapat ditulis dengan cara yang lebih
    ringkas, yang dikenal sebagai notasi ilmiah, yaitu 1,5 × 108 km.
    Contoh Soal 2.1
    Tentukan nilai dari pemangkatan berikut.
    a. 34 b.
    2
    5
    3 
     

     
    c. (–1)7
    Jawab:
    a. 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
    b.
    2
    5
    3 
     

     
    = 2
    5
    2
    5
    2
    5
    × × = 8
    125
    c. (–1)7 = (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = –1
    Tes Kompetensi Awal
    Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
    1. Sederhanakanlah bentuk pangkat berikut:
    a. (4a)–2 × (2a)3 c. 3
    9
    3 4 6
    2 2
    ⋅ −
    − −
    m n p
    m np
    b. (2a2)3 : 4a3
    2. Hitunglah nilai dari:
    a. 81 8
    7
    1
    4
    2
    3
    1
    ( ) + ( )

    b. 125 4
    3
    3
    2
    3 2
    2
    5
    7
    5
    ( ) − +


    3. Jika a = 2 2 + 3 dan b = 3 2 −1 maka hitunglah
    nilai dari:
    a. 2a + b b. a · b
    4. Tentukan nilai x dari persamaan eksponen berikut:
    5 25 x+3 = 4 x+5
    5. Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut:
    a. 2log 48 + 5log 50 – 2log3 – 5log 2
    b. a log 3 a × a log a a
    c. 3 5 4 3
    4
    3
    3 2
    16
    3 log log
    log
    log
    + −
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 21
    b. Sifat-Sifat Operasi Pemangkatan
    1) Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
    Untuk a ∈ R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku:
    am × an = am + n
    Bukti:
    am × an = a a a a a a a a
    m n
    × × × ... × × × × × ... ×
    sebanyak faktor sebanyak
    
    faktor
    
    = a a a a a a a a
    m n
    × × × × × × × × ×
    +
    ... ...
    sebanyak faktor
     = am + n (terbukti)
    2) Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
    Untuk a ∈ R, a ≠ 0 dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n.
    a a
    a
    a
    m n a
    m
    n
    : = = m−n
    Bukti:
    am : an =
    a a a a
    a a a a
    m
    n
    × × × ×
    × × × ×
    ...
    ...
    sebanyak faktor
    sebanyak f
    
    aktor
    
    = a a a a
    m n
    × × × ×

    ...
    sebanyak ( ) faktor
     = am – n (terbukti)
    3) Sifat Pangkat dari Bilangan Berpangkat
    Untuk a ∈ R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku:
    (am)n = am · n
    Bukti:
    (am)n = am am am am
    n
    × × ×... ×
    sebanyak faktor
    
    = (a a ... a) (a a ... a) ... (a a ... a)
    m n
    × × × × × × × × × × × ×
    sebanyak × faktor
     = am · n (terbukti)
    4) Sifat Pangkat dari Perkalian Bilangan
    Untuk a, b ∈ R dan n bilangan bulat positif, berlaku:
    (a · b)n = an · bn
    Bukti:
    (a · b)n = ab ab ab ab
    n
    × × ×... ×
    sebanyak faktor
    
    = (a a a ... a) (b b b ... b)
    n
    × × × × × × × × ×
    sebanyak faktor sebanya
    
    k n faktor
     = an · bn (terbukti)
    5) Sifat Pangkat dari Pembagian Bilangan
    Untuk a, b ∈ R, b ≠ 0 dan n bilangan bulat positif, berlaku:
    a
    b
    a
    b
    n n
    n

     

     =
    Bukti:
    a
    b
    a
    b
    a
    b
    a
    b
    a
    b
    n 
     

     
    = × × ×... ×
    =
    a a a a
    b b b b
    n
    n
    × × × ×
    × × × ×
    ...
    ...
    sebanyak faktor
    sebanyak f
    
    aktor
    
    =
    a
    b
    n
    n (terbukti)
    Solusi
    Bentuk sederhana dari 23 × (22)3
    adalah ....
    a. 27 d. 212
    b. 28 e. 218
    c. 29
    Jawab:
    23 × (22)3 = 23 × 26
    = 23 + 6
    = 29
    Jawaban: c
    Sumber: UN SMK 2005
    22 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika ContohContohContohContohSoalSoal 2.3
    Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut.
    a. 60 b. (2a)0 c. x y 3 4 0
    4

     

     
    JawabJawab:
    a. 60 = 1
    b. (2a)0 = 1, dengan syarat a ≠ 0
    c.
    x y 3 4 0
    4

     

     
    = 1, dengan syarat x ≠ 0 dan y ≠ 0
    Contoh Soal 2.2
    Sederhanakanlah bentuk pemangkatan berikut.
    a. p5 × p10 × p4 d. (3x2 y)2
    b. (x2)4 e.
    a b
    a b
    7 5
    5 2
    2 ⋅


     

     
    c. 26 : 24
    Jawab:
    a. p5 × p10 × p4 = p19 (sifat perkalian bilangan pangkat)
    b. (x2)4 = x2 · 4 = x8 (sifat pangkat dari bilangan berpangkat)
    c. 26 : 24 = 26 – 4 = 22 = 2 × 2 = 4 (sifat pembagian bilangan pangkat)
    d. (3x2y)2 = 32(x2)2y2 (sifat pangkat dari perkalian bilangan) = 32x4y2 (sifat pangkat dari bilangan pangkat) = 9x4y2
    e. a b
    a b
    a b
    a b
    a b
    7 5
    5 2
    2
    7 552 2
    2 3 2
    2 2 3 2
    æ
    è
    çççç
    ö
    ø
    ÷÷÷÷
    = ( )
    =( )
    =( )()
    =
    - -
    a b 4 6
    (sifat pangkat dari bilangan pangkat)
    (sifat pangkat dari perkalian bilangan)
    (sifat pembagian bilangan pangkat)
    2. Pangkat Bulat Negatif dan Nol
    a. Bilangan Berpangkat Nol
    Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 maka
    a0 = 1
    Bukti:
    a0 = an–n
    = a
    a
    n
    n (sifat pembagian bilangan berpangkat) =
    a aaa
    a aaa
    n
    n
    × ×××
    × ×××
    ...
    ...
    faktor
    faktor
     
     
    = 1
    Jadi, a0 = 1.
    00 tidak terdefinisi.
    karena:
    00 = 0n–n
    =
    =
    =
    0
    0
    0
    0
    n
    n
    TD
    Catatan
    tidak terdefinisi
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 23
    Solusi
    Bentuk sederhana dari abab−−()12393 adalah ....
    a. a5b3
    b. a6b3
    c. a6b8
    d. a7b6
    e. a8b3
    Jawab:
    a
    babababababab−−−××−−−−−−()−()===⋅=1239313239336933963ab63
    Jawaban: b
    Sumber: UN SMK 2006
    b. Bilangan Berpangkat Negatif
    Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 didefinisikan:
    aann–=1
    Definisi ini berasal dari bentuk berikut.
    Misalkan aaaaaaaaaammnmmnnmmnmmnn::()+−+−+====1
    maka aann–=1.
    Contoh Soal 2.4
    1. Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat di bawah ini ke dalam pangkat negatif.
    a. a4 b. x3 y2 c. 152pq
    Jawab:
    a. a4=-14a
    b. xyxy323211×=×=´----132xy
    c. 1115252pqpq=⋅=⋅pq––52
    2. Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini ke dalam pangkat positif.
    a. p−5 b. 3–3pq–2 c. xyz21252−−−
    Jawab:
    a. pp–551=
    b. 332−−=pq13132pq
    c. xzxyzxyzy21252125225212112−−−−−−===425xzy
    Latihan Soal 2.1
    1. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.
    a. m5 × m7
    b. 2a5 × 5a2 × 3a
    c. 125343aaa××
    d. (53x5y) × (52y4)
    e. 7143246pqrpqr()×
    2. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.
    a. 510 : 58
    b. a3b : ab4
    c. (2p3q5r2) : (4pq2r2)
    d. 2733522xyzxyz
    Kerjakanlah soal-soal berikut.
    24 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika B. Bentuk Akar
    1. Konsep Bilangan Irasional
    Pada Bab 1, Anda telah diperkenalkan mengenai bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan irasional didefinisikan sebagai bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan ab dengan a , b ∈B dan b ≠ 0. Sedangkan bilangan rasional adalah blangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan ab dengan a , b, ∈B dan b ≠ 0.
    Contoh bilangan irasional:
    a. π = 3,141592 ...
    b. e = 2,718281 ...
    c. 21414213=, ...
    d. 7= 2, 6457...
    Contoh bilangan rasional:
    a. 17990171717=,...
    b. 930000=, ...
    c. 4 = 4,0000 ...
    d. 1616666159,,...==
    Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat pada bilangan bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar merupakan bilangan irasional.
    2. Bentuk Akar
    Dalam bilangan bentuk akar (radikal), ada 3 bagian yang perlu diketahui, yaitu lambang bentuk akar, radikan, dan indeks. Secara umum, bentuk akar ditulis dalam bentuk:
    a
    n
    (an dibaca "akar pangkat n dari a")
    InfoMath
    Notasi radikal diperkenalkan pertama kali pada 1525 oleh seorang ahli aljabar Jerman, Christoff Rudolf (1500–1545) dalam bukunya yang berjudul Die Coss. Simbol ini dipilih karena kelihatan seperti huruf r dari kata radix, yang dalam bahasa latin berarti akar.
    Sumber: Finite Mathematics and It's Applications, 1994
    e. 1232252433573babababab×
    3. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.
    a. (2p)3
    b. (3m2n5)3
    c. (–4 m3 n4)2 : (64 m n2)3
    d. xyz325
    e. abab234261−−()()
    4. Sederhanakan bentuk pangkat berikut. Kemudian, nyatakan dalam pangkat positif.
    a. 33337654−−−××
    b. (–2a3b–1) : (2a–2b3)2
    c. xyxy22212⋅−4
    d. cdcd−−−−11
    e. 112ab−−+
    5. Jika a = 2 dan b = 3, tentukan nilai dari:
    a. abab−−−−++1122
    b. ababbaab−()+−⋅+()−−−3231
    c. 11111−+−ab
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 25
    Anda
    Pasti Bisa
    Di antara bilangan-bilangan berikut, manakah yang merupakan bentuk akar?
    a. 0016,
    b. 35,
    c. 025,
    d. 169,
    e. 0036,
    f. 0625,
    dengan: an disebut bentuk akar (radikal),
    disebut lambang bentuk akar,
    n disebut indeks (pangkat akar),
    a disebut radikan (bilangan di bawah tanda akar), dengan a bilangan riil positif untuk n bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa bilangan riil negatif.
    Bentuk akar terbagi atas 2 jenis:
    1. Akar Senama
    Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama.
    Contoh:
    a. 235,,, mempunyai indeks 2
    b. 51011333,,, mempunyai indeks 3.
    2. Akar sejenis
    Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama.
    Contoh:
    22252333,, mempunyai indeks 3, radikannya 2
    Seperti halnya bilangan pangkat, bentuk akar pun memiliki sifat-sifat tertentu, yaitu sebagai berikut:
    Untuk a, b bilangan riil dengan n bilangan asli yang sesuai berlaku:
    1. ababnnn×=×
    2. ababnnn=
    3. paqapqannn±=±()
    Sifat-sifat bentuk akar di atas menjelaskan bahwa perkalian dua bentuk akar senama dengan indeks n, sama dengan perkalian radikan dari masing-masing bentuk akar dengan indeks n. Hal demikian berlaku juga untuk operasi pembagian bentuk akar senama. Untuk penjumlahan dan pengurangan dengan bentuk akar sejenis maka yang dijumlahkan atau dikurangkannya adalah koefisien dari masing-masing bentuk akar, lalu dikalikan dengan bentuk akar tersebut.
    Contoh Soal 2.5
    1. Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar, sederhanakanlah bentuk akar berikut.
    a. 54 b. 72 c. 225 d. 1283
    Jawab:
    a. 549696=×=×=36
    b. 72362362=×=×=62
    c. 225225==25
    d. 1286426423333=×=×=423
    2. Sederhanakanlah operasi bentuk pangkat berikut.
    a. 4532055+− b. 2323352+()−() Solusi
    Bentuk sederhana dari:
    2
    8181432200+++
    adalah ....
    a. 142 d. 202
    b. 172 e. 212
    c. 182
    Jawab:
    2
    8181432200222321442102423212102+++×++×++++===182
    Jawaban: c
    Sumber: Ebtanas 1998
    26 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 3. Pangkat Tak Sebenarnya
    Bilangan berpangkat dengan pangkat nol, bulat negatif, dan pecahan disebut juga sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya. Adapun bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif disebut juga bilangan berpangkat sebenarnya.Untuk sebarang nilai a dengan a ≠ 0, m bilangan bulat, n bilangan asli, dan
    n ≥ 2 berlaku:
    a. aann=1
    b. aamnmn=
    Bilangan an1 dan amn disebut bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.
    Jawab:
    a. 453205535325553565553655+−=+()−=+−=+−()=45
    b. 2323352631063652187610+()−()=⋅−+−⋅=−−=−8 76
    Latihan Soal 2.2
    1. Tentukan nilai dari bentuk akar berikut ini. Kemudian, manakah yang merupakan bilangan irasional?
    a. 83 d. 2435
    b. 004, e. 0036,
    c. 323
    2. Sederhanakanlah operasi bentuk pangkat berikut.
    a. 15024254−+
    b. 3108275512++
    c. 127222752+−
    d. 322−()
    e. 253253+()+()
    f. 522322−()−()
    g. 362632+()−()
    3. Diketahui p=+575, q=+612 dan r=−827. Tentukan bentuk paling sederhana dari 2p + q – 2r.
    4. Diketahui, sebuah persegipanjang dengan panjang 7233−() cm dan lebar 223+() cm. Berapa luas persegipanjang tersebut?
    5. Jika x = 235+−() dan y = 235+−(), tentukan nilai dari x · y.
    Kerjakanlah soal-soal berikut.
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 27
    Anda
    Pasti Bisa
    Nilai dari:
    (
    )()....6412515231612=
    a. 0,16
    b. 1,6
    c. 6,4
    d. 16
    e. 64
    Contoh Soal 2.6
    1. Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam bentuk bilangan dalam bentuk pangkat tak sebenarnya.
    a. x b. 53 c. p34 d. a105
    Jawab:
    a. x=x12
    b. 53=513
    c. p34=p34
    d. aa105105==a2
    2. Ubahlah bilangan berikut ke dalam bentuk akar:
    a. x213() c. 32535xy⋅
    b. 634p() d. 243212xy()
    Jawab:
    a. xxx2132323()==
    b. 666216343433434pppp()=()==
    c. 33325352315235xyxyxy=()=
    d. 222444432124123122122323212xyxyxyyxyxxxyx()=()()()===××=
    4. Sifat-Sifat Operasi Pangkat Tak Sebenarnya
    Untuk a, b ∈ R dengan a, b ≠ 0, serta p, q bilangan rasional maka berlaku sifat-sifat operasi pangkat tak sebenarnya sebagai berikut.
    1. ap × aq = a p+q
    2. ap : aq = ap–q
    3. (ap)q = ap·q
    4. (a · b)p = ap · bp
    5. ababbppp=≠,0
    6. aaapp–,=≠10
    28 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika Contoh Soal 2.7
    Sederhanakan operasi bentuk pangkat tak sebenarnya dari:
    a. xx2343× c. abc46712()
    b. aa2532: d. 23776
    Jawab:
    a. xxxxx23432343632´===+
    b. aaaaaaaaaa2532253241015101110111011010111:=====×=---
    c. abcabcabccabcc46712237223312233()===
    d. 22223776377612æèççççöø÷÷÷÷===´
    Operasi pada bilangan bentuk pangkat tak sebenarnya menjelaskan bahwa pada dasarnya operasi yang berlaku sama dengan operasi pada bilangan bentuk pangkat sebenarnya. Perlu diperhatikan di sini bahwa pangkat yang dipakai adalah pangkat bilangan nol, bilangan bulat negatif, dan bilangan pecahan.
    Latihan Soal 2.3
    1. Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk pangkat sebenarnya:
    a. ab23
    b. 46xy
    c. x3
    d. 16864xy
    2. Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk akar:
    a. 523−
    b. 2213pq−
    c. ab23414⋅
    d. x2128−()−
    3. Tentukan hasil operasi dari:
    a. 2781025423131252()+()+()−−
    b. 12581273133452()−()+
    Kerjakanlah soal-soal berikut.Anda
    Pasti Bisa
    Tentukan bentuk sederhana dari 2513154xx.
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 29
    C. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
    Dalam suatu bentuk operasi bilangan, ada kalanya bilangan tersebut memiliki penyebut dalam bentuk akar, seperti: 1533123253,,+−.
    Bentuk-bentuk bilangan tersebut dapat disederhanakan dengan cara merasionalkan penyebut pecahan-pecahan tersebut. Kegiatan merasionalkan pada intinya mengubah bentuk akar pada penyebut menjadi bentuk bilangan rasional, yang pada akhirnya bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana.
    Suatu bentuk pecahan yang memuat bilangan bentuk akar dikatakan sederhana jika dipenuhi:
    1. setiap bilangan bentuk akarnya sudah dalam bentuk sederhana, dan
    2. tidak ada bentuk akar pada penyebut jika bilangan tersebut pecahan.
    Pada bagian ini, Anda akan mempelajari mengenai cara merasionalkan berbagai bentuk pecahan agar lebih sederhana.
    1. Pecahan Bentuk ab
    Bentuk akar ab dengan b ≠ 0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan dengan b sehingga:
    a
    babbbabb=×=
    4. Jika x = 25 dan y = 64, tentukan nilai dari
    xyyx−⋅−32231312
    5. Tentukan bentuk sederhana dari:
    a. 164435
    b. 155251625004444×××,
    Contoh Soal 2.8
    Sederhanakanlah penyebut dari bentuk pecahan berikut.
    a. 36 b. 53 c. 233 d. 2313+
    Jawab:
    a. 363666366126=´==
    b. 52352333123151615=´=×=
    c. Agar penyebut 33 dapat dirasionalkan, maka 33 dikalikan dengan 323 sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut:
    23233329323933232333=´==
    d. 2313231323133333333333+=+=+==´==
    30 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 2. Pecahan Bentuk ab–c
    Untuk menyederhanakan bentuk pecahan abc+ atau abc− adalah dengan mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebut. Bentuk sekawan dari bc+ adalah bc−. Sebaliknya, bentuk sekawan dari bc− adalah bc+ sehingga
    abcabcbcbcabcbc+=+´--=-()-2
    abcabcbcbcabcbc-=-´++=+()-2
    Contoh Soal 2.9
    Sederhanakan penyebut dari bentuk pecahan berikut.
    a. 435− b. 271+ c. 3223+
    Jawab:
    a. 435435353543595435435-=-´++=+()-=+()=+
    b. 2712717171271712716713+=+´--=-()-=-()=–
    c. 32233223223223263389263313326+=+´--=--=--=–Solusi
    Bentuk sederhana dari 435+
    adalah ....
    a. 35
    b. 45+
    c. 35+
    d. 45−
    e. 35−
    Jawab:
    4
    3543535354359512454+=+×−−=×−()−=−=35−−
    Jawaban: e
    Sumber: UN SMK 2006
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 31
    3. Pecahan Bentuk ab–c
    Dan untuk menyederhanakan penyebut dari bentuk pecahan abc+ atau abc−, yaitu dengan cara mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebutnya. Bentuk sekawan dari bc+ adalah bc−. Sebaliknya, bentuk sekawan dari bc− adalah bc+ sehingga
    abcabcbcbcabcbc+=+´--=-()-
    abcabcbcbcabcbc-=-´++=+()-Solusi
    Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari 61510− adalah ....
    a. −−25153510
    b. 25153510−
    c. 35102515−
    d. −+25153510
    e. 35102515+
    Jawab:
    6
    15106151015101510615101510906053102155−=+×++=×+()−=+=+=35110+2515
    Jawaban: e
    Sumber: Ebtanas 1998
    Sederhanakanlah penyebut dari bentuk pecahan berikut.
    a. 7256+ b. 2363− c. 12145−−
    Jawab:
    a. 7256725625625672562067256142562+=+´--=-()-=-()=–
    b. 23632363636321823636263222-=-´++=+×-=+=+
    c. 1214512145145145145281014514527109--=--´++=+---=+––
    Contoh Soal 2.10
    32 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 4. Menyederhanakan Bentuk Akara+b–2ab()⋅
    Bentuk abab+()±⋅2 dapat diubah menjadi bentuk ab±() dengan syarat a, b ∈ R dan a > b.
    Bukti:
    a
    baabbababababab±()=±×+=+()±±=+()±2222
    Jadi, ababab+()±=±2
    Sederhanakan bentuk akar berikut.
    a. 12220− c. 1162+
    b. 21280+ d. 5526−
    Jawab:
    a. 1222010221021021022-=+()-×=-()=–
    b. 212801652165165165452+=+()+×=+()=+()=+
    c. 11621123211218922929292322+=+×=+=+()+×=+()=+()=+
    d. 5526532532323255232552-=-=-´++=+()-=+()
    Contoh Soal 2.11Anda
    Pasti Bisa
    Nilai dari 79265656132xyxyx−−−− untuk x = 4 dan y = 27 adalah ....
    a. 12292+()
    b. 12293+()
    c. 122183+()
    d. 122272+()
    e. 122273+()
    Sumber: UAN 2002
    (cari faktor dari 80 yang jika faktornya dijumlahkan bernilai 21)
    (cari faktor dari 18 yang jika faktornya dijumlahkan bernilai 11)
    (penyebutnya diubah menjadi
    5
    2632−=−)
    (cari faktor dari 20 yang jika dijumlahkan bernilai 12)
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 33
    D. Logaritma
    Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:
    24 = 16 ⇔ 2log 16 = 4
    Secara umum:
    Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
    alog x = n ⇔ x = an
    dengan: a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;
    x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0
    n = hasil logaritma.
    (alogx dibaca"logaritma x dengan basis a")
    Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.
    Latihan Soal 2.4
    1. Sederhanakan penyebut dari bentuk akar berikut.
    a. 52 d. 211 g. 984
    b. 623 e. −365 h. 3253
    c. −410 f. 723
    2. Sederhanakanlah penyebut dari bentuk akar berikut.
    a. 372− d. 3322+−
    b. 5105+ e. 327327−+
    c. 32622− f. 524724−+
    3. Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut.
    a. 15254+ d. 1147+
    b. 928− e. 128212+
    c. 20103− f. 5238215−−
    4. Dengan merasionalkan penyebut, tentukan bentuk sederhana dari:
    a. 26235++
    b. 1112016524−+−−
    c. 3134312++()
    5. Jika diketahui sebuah persegipanjang PQRS dengan panjang 223+ cm dan lebar 2523+ cm.
    Tentukan:
    a. keliling persegipanjang tersebut;
    b. luas persegipanjang tersebut.
    Kerjakanlah soal-soal berikut.
    34 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 1. Sifat-Sifat Logaritma
    a. Sifat 1
    Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:
    alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1
    Bukti:
    • Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Jadi, a1 = a ⇔ alog a = 1
    • Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi, a0 = 1 ⇔ alog 1 = 0
    • Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1
    b. Sifat 2
    Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
    alog x + alog y = alog xy
    Bukti:
    alog x = n ⇔ an = x
    alog y = m ⇔ am = y
    alog xy = p ⇔ ap = xy
    Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
    xy = anam ⇔ xy = an+m
    ap = an+m ⇔ p = n+m
    Contoh Soal 2.12
    1. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat.
    a. 3log 9 = 2
    b. 511253log=−
    c. 2log 32 = 2p
    Jawab:
    a. 3log 9 = 2 ⇔ 9 = 32
    b. 5112531125log=−⇔=53–
    c. 2log 32 = 2p ⇔ 32 = 22p
    2. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.
    a. 72−=149
    b. 2432a=
    c. 33332pp=
    Jawab:
    a. 71492−=⇔7log149=2–
    b. 2432a=⇔2log4=32a
    c. 33332pp=⇔33log3=32ppSolusi
    Nilai dari 2log 3 + 2log 8 – 2log 6 adalah ....
    a. 3 d. 1
    b. 2 e. 12
    c. 32
    Jawab:
    2log 3 + 2log 8 – 2log6 =
    2
    22223864222loglogloglog×====2
    Jawaban: b
    Sumber: UN SMK 2003
    InfoMath
    John Napier
    (1550–1617)
    Metode logaritma pertama kali dipublikasikan oleh matematikawan Scotlandia, yaitu John Napier pada 1614 dalam bukunya yang berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Metode ini memberikan kontribusi yang besar untuk kemajuan ilmu pengetahuan, salah satunya pada bidang astronomi dengan menjadikan perhitungan rumit menjadi mudah.
    Sumber: en.wikipedia.org
    Sumber: cantiques.karaokes.free.fr
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 35
    Maka:
    n = alog x, m = alog y dan p = alog xy, sehingga
    alog x + alog y = alog xy
    c. Sifat 3
    Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:
    a
    aaxyxylogloglog−=
    Bukti:
    alog x = n ⇔ an = x
    alog y = m ⇔ am = y
    apxypaxylog=⇔=
    Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:
    xyaaxyaaapnmnmnmpnm=⇔=⇔=⇔=−−−
    Jadi,aaaxyxylogloglog−=.
    d. Sifat 4
    Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
    alog xn = n alog x
    Bukti:
    ananfaktoraaxxxxxxxloglog(...)loglog.=××××=++ ...loglog+=anfaktoraxnx
    Jadi, alog xn = n alog x.
    e. Sifat 5
    Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
    a
    namxnmxloglog=
    Bukti:
    alog x = p ⇔ ap = x
    anmqnmxqaxlog=⇔=⋅
    Dari bentuk pangkat di atas diperoleh:
    xn = am · q ⇔ (ap)n = amq
    ⇔ anp = amq ⇔ np = mq
    ⇔ qnmp=
    Jadi, anamxnmxloglog=.Solusi
    Nilai dari 2log 48 + 5log 50 – 2log 3 – 5log 2 adalah ....
    a. –2 d. 2
    b. –6 e. 6
    c. 1625
    Jawab:
    2
    5252255248503248350248logloglogloglogloglogloglog+−−⇔−+−⇔335021625525+⇔+⇔logloglog4+2=6
    Jawaban: e
    Sumber: UN SMK 2005
    36 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 1. Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
    a. 2log 6 + 2log 18 – 2log 27
    b. 33393227logloglog+−
    c. 8log 32 + 8log 16 – 8log 128
    Jawab:
    a. 22222222618276182742222logloglogloglogloglog+-=×===×=
    b. 3333231233339322733232312loglogloglogloglogloglo+-×=+-×=+×gglog32332126124723-×=+-=-=-
    c. 8888822232161283216128422323logloglogloglogloglog++=×===×=223
    2. Tentukan nilai x dari bentuk logaritma
    loglogloglogx=+−13891327
    Jawab:
    logloglogloglogloglog()logxsifat=+-=+-=1389132789274213133(()+-()=+-=×==133139329329366logloglogloglogloglogloglogxx==6
    Contoh Soal 2.13Solusi
    Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka nilai dari log 75 = ....
    a. 0,7781 d. 1,2552
    b. 0,9209 e. 1,8751
    c. 1,0791
    Jawab:
    log 75 = log 3004
    = log 300 – log 4
    = log 100 + log 3 – 2 log 2
    = 2 + 0,4771 – 2(0,3010)
    = 2,4771 – 0,6020
    = 1,8751
    Jawaban: e
    Sumber: UN SMK 2003
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 37
    f. Sifat 6
    Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:
    a
    ppxxxxaloglogloglog==1
    Bukti:
    alog x = n ⇔ x = an
    log x = log an (sifat 4 logaritma)
    ⇔=⇔=loglogloglogxnanxapp
    ⇔=appxxalogloglog (terbukti)
    Jika p = x maka
    axxxxxaaloglogloglog==1
    g. Sifat 7
    Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:
    alog x · xlog y = alog y
    Bukti:
    alog x = p ⇔ ap = x
    xlog y = q ⇔ xq = y
    Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
    y = xq ⇔ y = (ap)q
    ⇔ y = apq
    ⇔ alog y = alog apq
    ⇔ alog y = pq alog a
    ⇔ alog y = pq
    ⇔ alog y = alog x · xlog y
    h. Sifat 8
    Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
    a
    xaxlog=
    Bukti:
    annxxxnaxxaxaaxaalog.loglog=⇔==⇔==Jadi,
    i. Sifat 9
    Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:
    a
    xnxnalog=
    Bukti:
    nxpxpxaxaaxaannpnnxnxnaaloglog,.loglog=⇔====JadiAnda
    Pasti Bisa
    Jika diketahui log x = a dan log y = b, log1032xy = ....
    a. 1032ab
    b. 302ab
    c. 10 (3a – 2b)
    d. 10 + 3a – 2b
    e. 1 + 3a – 2b
    Sumber: UN SMK 2004
    38 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika Contoh Soal 2.14
    1. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, nyatakan 12log 30 dalam a dan b.
    Jawab:
    12333333303012656435logloglog()loglogloglog==×()×()=+sifat66432523215233333233loglog()logloglogloglog+=+×()+=++sifat3333221112111212loglog×+=++æèçççöø÷÷÷+=+++=+++baaabaaaaabaaaabaa=+++12
    2. Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut.
    a. 2log 25 × 3log 8 × 5log 9
    b. 2952325724logloglog−+
    Jawab:
    a. 235223352235258952325322logloglogloglogloglogloglo´´=´´=´´gglogloglogloglogloglog3232523125321222352532=×××´´=×´´=×=112112×=
    b. 29573572572325352252724222222loglogloglogloglog-+=-()+=-+=--+=-+=45742552log
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 39
    Selain menggunakan tabel, perhitungan logaritma suatu bilangan dapat juga dilakukan dengan menggunakan kalkulator. Kalkulator yang dapat digunakan untuk menghitung logaritma adalah kalkulator ilmiah.
    Catatan
    2. Menentukan Logaritma Berbasis 10 dari Suatu Bilangan dengan Menggunakan Tabel Logaritma
    Dalam perhitungan matematika, untuk logaritma biasanya digunakan basis 10. Pada logaritma dengan basis 10, bilangan pokok 10 biasanya tidak ditulis. Selanjutnya, Anda akan mempelajari tabel logaritma (Tabel 2.1) seperti berikut.
    Latihan Soal 2.5
    1. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.
    a. 7712= d. 35pq=
    b. 2142q= e. 481x+=
    c. axmn+=
    2. Nyatakan bentuk logaritma berikut ke dalam bentuk pangkat.
    a. 21325log=− d. 224loga=
    b. 312logx= e. 4243⋅=logr
    c. 521logpq+()=
    3. Tentukan nilai x dari logaritma berikut.
    a. 2log (2x – 6) = 3
    b. 3logx2 = 2
    c. 5log (x2 – 2x + 22) = 2
    4. Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
    a. 12log 3 + 12log 4
    b. 3log 16 + 3log 5 – 3log 4
    c. 4log 200 – 4log 25
    d. 131213137562536logloglog+−
    e. 3581161243125312loglogloglog+−−
    5. Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
    a. 5log4 × 2log 3 × 9log 5
    b. 643127368logloglog××
    c. 54275231032logloglog++
    d. 9163345322312loglogloglog+−5
    6. Jika a = 5log 1; b = 10log 0,01; c = 5log 0,2;
    d =128log.
    Tentukan nilai dari abcd−+()2.
    7. Jika 2log (2x–1) = 4; ylog 0,125 = –3;
    22logz=, tentukan nilai dari x · y · z.
    8. Jika log 2 = x dan log 3 = y, tentukan nilai dari
    5log24.
    9. Jika 5log 3 = a dan 3log 4 = b, tentukan nilai dari
    12log75.
    10. Jika 2log 3 = a, tentukan nilai dari nilai dari
    327342114logloglog++.
    Kerjakanlah soal-soal berikut.
    40 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika N
    0
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    0
    0000
    3010
    4771
    6021
    6990
    7782
    8451
    9031
    9542
    1
    0000
    0414
    0792
    1139
    1461
    1761
    2041
    2304
    2553
    2788
    2
    3010
    3222
    3424
    3617
    3802
    3979
    4150
    4314
    4472
    4624
    3
    4771
    4914
    5051
    5158
    5315
    5441
    5563
    5682
    5798
    5911
    4
    6021
    6128
    6232
    6335
    6435
    6532
    6628
    6721
    6812
    6902
    5
    6990
    7076
    7160
    7243
    7324
    7404
    7482
    7559
    7634
    7709
    6
    7782
    7853
    7924
    7993
    8062
    8129
    8195
    8261
    8325
    8388
    7
    8451
    8513
    8573
    8533
    8692
    8751
    8808
    8865
    8921
    8976
    8
    9031
    9085
    9138
    9191
    9243
    9294
    9345
    9395
    9445
    9494
    9
    9542
    9590
    9638
    9638
    9731
    9777
    9823
    9868
    9912
    9956
    10
    0000
    0043
    0086
    0128
    0170
    0212
    0253
    0294
    0334
    0374
    11
    0414
    0453
    0492
    0531
    0569
    0607
    0645
    0682
    0719
    0755
    12
    0792
    0828
    0864
    0899
    0934
    0969
    1004
    1038
    1072
    1106
    13
    1139
    1173
    1206
    1239
    1271
    1303
    1335
    1367
    1399
    1430
    14
    1461
    1492
    1523
    1553
    1584
    1614
    1644
    1673
    1703
    1732
    15
    1761
    1790
    1818
    1847
    1875
    1903
    1931
    1959
    1987
    2014
    16
    2041
    2068
    2095
    2122
    2148
    2175
    2101
    2227
    2253
    2279
    17
    2304
    2330
    2355
    2380
    2405
    2430
    2455
    2480
    2404
    2529
    18
    2553
    2577
    2601
    2625
    2648
    2672
    2695
    2718
    2742
    2765
    19
    2788
    2810
    2833
    2856
    2878
    2900
    2993
    2945
    2967
    2989
    20
    3010
    3032
    3054
    3075
    3096
    3118
    3139
    3160
    3181
    3201
    21
    3222
    3243
    3263
    3284
    3304
    3324
    3345
    3365
    3385
    3304
    22
    3424
    3444
    3464
    3483
    3502
    3522
    3541
    3560
    3579
    3598
    23
    3617
    3636
    3655
    3674
    3692
    3711
    3729
    3747
    3766
    3784
    24
    3802
    3820
    3838
    3856
    3874
    3892
    3909
    3927
    3945
    3962
    25
    3978
    3997
    4014
    4031
    4048
    4065
    4082
    4099
    4116
    4133
    26
    4150
    4165
    4183
    4200
    4216
    4232
    4249
    4265
    4281
    4298
    27
    4314
    4330
    4346
    4362
    4378
    4393
    4409
    4425
    4440
    4456
    28
    4472
    4487
    4502
    4518
    4533
    4548
    4564
    4579
    4594
    4609
    29
    4624
    4639
    4654
    4669
    4683
    4698
    4713
    4728
    4742
    4757
    30
    4771
    4785
    4800
    4814
    4829
    4843
    4857
    4871
    4886
    4900
    Tabel 2.1 Tabel Logaritma
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 41
    karakteristik mantisa
    Sebelum menentukan nilai logaritma dengan menggunakan tabel ini,
    Anda perlu memahami terlebih dahulu hal-hal yang berhubungan dengan
    tabel logaritma tersebut.
    Logaritma suatu bilangan nilainya terdiri atas dua bagian, yaitu
    karakteristik (bilangan yang terletak di depan koma desimal) dan mantisa
    (bilangan yang terletak di belakang koma).
    Contoh:
    log 4 ,65 =
    }
    0 , 667
    }
    Dalam tabel logaritma terdapat kolom-kolom, kolom pertama (disebut
    kolom N). Dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan yang berurutan mulai
    dari 0 sampai dengan 1000. Baris judul pada kolom kedua sampai dengan
    kolom kesebelas dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka 0,1,...,9.
    Pada kolom-kolom tersebut dari atas ke bawah memuat mantisa, yang terdiri
    atas 4 angka (digit).
    Besar karakteristik dari logaritma dapat ditentukan berdasarkan nilai
    numerusnya.
    alog x = n
    a. Jika 1 < x < 10 karakteristiknya 0
    b. Jika 10 < x < 100 karakteristiknya 1
    c. Jika 100 < x < 1000 karakteristiknya 2
    Berikut akan diberikan langkah-langkah mencari logaritma suatu bilangan
    dengan tabel logaritma, seperti pada Contoh Soal 2.15.
    Tugas 2.1
    Dengan menggunakan tabel
    logaritma dari sifat-sifat
    logaritma, hitunglah:
    1. log 3 7
    2. log 15
    3. log
    1
    27
    Kemudian, diskusikan hasilnya
    dengan temanmu.
    Contoh Soal 2.15
    Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan:
    a. log 2,6;
    b. log 2,65;
    c. log 26,5;
    d. log 265.
    Jawab:
    a. log 2,6 = 0,...
    Bagian desimalnya (mantisa) diperoleh dari pertemuan antara baris
    yang memuat angka 2 dan kolom yang memuat angka 6, yaitu 4150.
    Jadi, log 2,6 = 0, 4150.
    b. log 2,65 = 0,...
    Bagian desimalnya (mantisa) diperoleh dari pertemuan antara baris
    yang memuat angka 26 dan kolom yang memuat angka 5, yaitu 4232.
    Jadi, log 2,65 = 0, 4232.
    c. log 26,5 = 1,...
    Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (b) tersebut. Jadi
    log 26,5 = 1,4232.
    d. log 265 = 2,...
    Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (b) dan (c) tersebut.
    Jadi log 265 = 2,4232.
    Tabel logaritma yang lebih
    lengkap dapat Anda lihat di
    akhir halaman buku ini.
    Catatan
    DigiMath
    Perhitungan pada Contoh Soal
    2.15 (a) dapat juga dilakukan
    dengan bantuan kalkulator.
    Kalkulator yang digunakan di
    sini adalah kalkulator jenis FX-
    3600 PV seperti pada gambar
    berikut.
    Cara untuk menentukan log 2,6
    adalah sebagai berikut. Tekanlah
    tombol-tombol
    sehingga hasil yang diperoleh
    adalah 0,414973348 ≈ 0,4150.
    2 • 6 log
    Sumber: world.casio.com
    42 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika Jika numerus dari logaritma 0 < x < 1 maka sebelum dilogaritmakan, nyatakan bilangan itu dalam bentuk baku a × 10–n dengan 1 ≤ a ≤ 10, n bilangan bulat positif.
    Daftar logaritma juga merupakan daftar antilogaritma. Artinya, jika diketahui log a = 0,4955, berapakah nilai a? Untuk lebih memahaminya, pelajarilah contoh-contoh berikut.
    Contoh Soal 2.16
    Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan:
    a. log 0,471;
    b. log 0,087;
    c. log 0,00984.
    Jawab:
    a. log 0,471= log 4,71 × 10–1
    = log 4,71 + log 10–1
    = log 4,71 – 1
    = 0,673 – 1
    = –0,327
    b. log 0,087= log 8,7 × 10–2
    = log 8,7 + log 10–2
    = log 8,7 – 2
    = 0,939 – 2
    = –1,061
    c. log 0,00984 = log 9,84 × 10–3
    = log 9,84 + log 10–3
    = log 9,84 – 3
    = 0,993 – 3
    = –2,007 Tugas 2.2
    Dengan menggunakan kalkulator, hitunglah nilai-nilai logaritma pada Contoh Soal 2.15 dan Contoh Soal 2.16. Kemudian bandingkanlah apakah hasilnya sama?
    Contoh Soal 2.17
    Tentukan nilai x dengan menggunakan anti logaritma berikut:
    a. log x = 0,2304
    b. log x = 1,2304
    c. log x = –0,752
    d. log x = –1,752
    Jawab:
    a. log x = 0,2304
    Mantisa dari 0,2304 adalah 2304, bilangan 2304 dapat Anda temukan pada pertemuan antara baris yang memuat angka 17 dan kolom yang memuat angka 0. Oleh karena karakteristiknya 0 maka numerusnya adalah satuan. Jadi, log x = 0,2304 maka x = 1,7.
    b. log x = 1,2304
    Langkah -langkah yang dilakukan sama seperti pada contoh soal (a), yang membedakan adalah nilai dari karakteristiknya yang memuat angka 1 maka numerusnya adalah puluhan. Jadi, log x = 1,2304 maka x = 17.
    DigiMath
    Untuk menghitung antilpgaritma dari Contoh Soal 2.17 (a) dengan bantuan kalkulator, terutama untuk kalkulator scientific FX-3600 PV, dapat dilakukan dengan menekan tombol-tombol sebagai berikut.
    Sehingga hasil yang diperoleh adalah 1,73957308 ≈ 1,714
    0
    4
    Shift
    log
    0

    2
    3
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 43
    c. log x = –0,752
    = 0,248 – 1
    = log 1,77 – log 10
    = log,log,177100177=
    x = 0,177
    d. log x = –1,752
    = 0,248 – 2
    = log 1,77 – log 100
    = log,177100
    x = 0,0177
    Latihan Soal 2.6
    1. Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan:
    a. log 7,56 d. log 0,591
    b. log 80,5 e. log 0,0642
    c. log 756,1 f. log 0,00021
    2. Dengan menggunakan tabel anti logaritma, tentukan nilai x dari:
    a. log x = 0,843 d. log x = 3,463
    b. log x = 0,794 e. log x = –0,257
    c. log x = 1,72 f. log x = –2,477
    Kerjakanlah soal-soal berikut.
    44 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika Rangkuman
    1. Bilangan berpangkat an (dibaca: "a pangkat n") adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a.
    2. Bilangan berpangkat bulat positif secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk:
    aaaaannfaktor=××××...
    dengan: a = bilangan pokok
    n = pangkat atau eksponen
    3. Sifat-sifat bilangan pangkat
    Untuk a ∈ R dan m, n bilangan bulat positif berlaku:
    a. am × an = am+n
    b. aaaaamnmnmn:==−
    c. (am)n = a m×n
    d. (ab)n = anbn
    e. ababnnn=, b ≠ 0
    Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 berlaku a0 = 1
    Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 berlaku aann−=1
    4. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ab.
    untuk a, b ∈ B, b ≠ 0
    5. Bilangan bentuk akar ditulis dalam bentuk an
    dengan: a = radikan;
    n = indeks (pangkat akar);
    = lambang bentuk akar.
    6. Sifat-sifat bilangan bentuk akar
    Untuk a, b bilangan bulat maka berlaku
    a. ababnnn×=×
    b. ababnnn=
    c. paqapqannn±=±()
    7. Hubungan antara bentuk akar dengan pangkat tak sebenarnya, yaitu:
    Untuk sebarang a dengan a ≠ 0 berlaku:
    a. aann=1
    b. aamnmn=
    8. Logaritma didefinisikan sebagai kebalikan dari bentuk pangkat sehingga berlaku
    alog x = n ⇔ x = an
    9. Sifat-sifat logaritma
    Untuk a, x, dan y bilangan riil positif dan a ≠ 1 maka berlaku:
    a. alog a = 1
    b. alog x + alog y = alog xy
    c. alog x – alog y = axylog
    d. alog xn = n alog x
    e. anamxnmxloglog=
    f. appxxxaaloglogloglog==1
    g. alog x xlog y = alog y
    h. axaxlog=
    i. axnxnalog=
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 45
    Bilangan Pangkat
    Definisi dan Sifat
    Pangkat Bulat Positif
    Definisi
    Definisi
    Sifat
    Penggunaan Tabel Logaritma
    Pangkat Bulat Negatif dan Nol
    Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Tak Sebenarnya beserta Sifat-Sifatnya
    Bentuk Akar
    Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
    Logaritma
    meliputi
    mempelajari
    mempelajari
    mempelajari
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
    Kata Mutiara
    Ketika satu pintu tertutup, pintu lain terbuka, namun terkadang kita melihat dan menyesali pintu tertutup tersebut terlalu lama hingga kita tidak melihat pintu lain yang telah terbuka.
    Alexander Graham Bell
    Alur Pembahasan
    Perhatikan alur pembahasan berikut:
    Materi tentang Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma dapat digambarkan sebagai berikut.
    46 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 8. Bentuk notasi ilmiah dari 83.256 adalah ....
    a. 8,3256 × 102 d. 83,256 × 102
    b. 8,3256 × 104 e. 8,3256 × 103
    c. 8,3256 × 105
    Alasan:
    9. Nilai dari 3log729 adalah ....
    a. 5 d. 8
    b. 6 e. 9
    c. 7
    Alasan:
    10. Jika 2log 12 = 3,6 dan 2log 3 = 1,6 maka nilai dari 2log 36 adalah ....
    a. 4,2 d. 5,6
    b. 4,6 e. 6,2
    c. 5,2
    Alasan:
    11. 2log 16 + 2log 4 – 2log 2 = ....
    a. 3 d. 6
    b. 4 e. 7
    c. 5
    Alasan:
    12. 221613loglog....+=
    a. 1 d. 4
    b. 2 e. 5
    c. 3
    Alasan:
    13. Jika, log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771; dan log 5 = 0,6990 maka nilai dari log30 adalah ....
    a. 1,4771 d. 0,73855
    d. 1,08805 e. 0,21365
    c. 0,7855
    Alasan:
    14. Jika log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771; dan log 7 = 0,8451 maka nilai dari log 123 adalah ....
    a. 1,0791 d. 0,3597
    b. 1,2791 e. 3,2373
    c. 0,3797
    Alasan:
    1. Bentuk akar dari a × a × a × a adalah ....
    a. a + 4 d. 4 × a
    b. 4a e. 6a7
    c. a4
    Alasan:
    2. Bentuk sederhana dari 3a2 × 2a4 adalah ....
    a. 5a6 d. 5a8
    b. 6a8 e. 6a7
    c. 6a6
    Alasan:
    3. Bentuk sederhana dari (p2)5 × (p2)3 adalah ....
    a. p12 d. p35
    b. p16 e. p60
    c. p15
    Alasan:
    4. Bentuk sederhana dari aaa423−− adalah ....
    a. a6 d. a-5
    b. a5 e. a-11
    c. a-1
    Alasan:
    5. Bentuk 12533asama dengan ....
    a. 25a3 d. 5a9
    b. 25a e. 5a3
    c. 5a
    Alasan:
    6. Bentuk sederhana dari 543− adalah ....
    a. 51343+() d. 5743−()
    b. 51343−() e. 543−
    c. 5743+()
    Alasan:
    7. Bentuk sederhana dari 2568− adalah ....
    a. 23040+() d. 3040−
    b. −+()3040 e. −+3040
    c. 3040+
    Alasan:
    Latihan Soal Bab 2
    A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
    Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 47
    15. Diketahui 9log 5 = n maka 3log 125 dapat dinyatakan dengan ....
    a. 5n d. n5
    b. n6 e. n6
    c. 6n
    Alasan:
    16. Bentuk sederhana dari bentuk akar 7210+ adalah ....
    a. 25−() d. 71−()
    b. 25+() e. 17−()
    c. 17+()
    Alasan:
    17. Jika xlog 6 = p dan xlog 8 = q maka 3p – q adalah ....
    a. xlog 1 d. xlog 10
    b. xlog 3 e. xlog 30
    c. 3 xlog 3
    Alasan:
    18. Jika alog b = x dan blog d = y maka dlog a dinyatakan dalam x dan y adalah ....
    a. x + y d. xy
    b. x – y e. xy
    c. x – y
    Alasan:
    19. Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka nilai dari log 75 = ....
    a. 0,7781 d. 1,2552
    b. 0,9209 e. 1,8751
    c. 1,0791
    Alasan:
    20. Jika log (2x + 10) = 2, nilai x adalah ....
    a. 2 d. 45
    b. 7 e. 90
    c. 9
    Alasan:
    B. Jawablah soal-soal berikut.
    1. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.
    a. 3e7p6 × 5e2p4
    b. abba793106
    c. 2552372xyxy−−
    2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut, kemudian sederhanakan.
    a. 565+ c. 3568−
    b. 7532+ d. 35422522−−
    3. Sederhanakan soal-soal berikut.
    a. 2log 4 + 2log 32
    b. log 2 + log 50
    c. 2log 160 – 2log 20
    d. 3log 81 + 3log 9
    e. 6log 96 – 6log 16
    4. Jika, 4log3 = x; 4log5 = y; dan 4log8 = z, hitunglah:
    a. 4log 15 + 4log 8
    b. 4log 2 + 4log 20
    c. 4log 40 – 4log 15
    5. Eli menabung di bank sebesar Rp 3.500.000,00 yang memberikan bunga 7% per tahun. Hitunglah jumlah uang Eli setelah ditabungkan selama 6 bulan.
    Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
    48
    6. Jika harga 1 kg minyak kelapa Rp9.500,00 maka harga 234 kg minyak kelapa tersebut adalah ....
    a. Rp25.225,00 d. Rp26.125,00
    b. Rp25.525,00 e. Rp27.225,00
    c. Rp25.875,00
    Alasan:
    7. Tabungan unit produksi SMK terdiri atas tabungan kria logam 25 bagian, tabungan kria kayu 13 bagian, tabungan kria tekstil 16 bagian, dan sisanya tabungan kria kulit. Besar tabungan kria kulit adalah ....
    a. 110 bagian d. 57 bagian
    b. 27 bagian e. 910 bagian
    c. 310 bagian
    Alasan:
    8. Dalam satu kelas, siswa yang berkacamata ada 2%. Jika jumlah seluruh siswa ada 40 orang, maka banyaknya siswa yang tidak berkacamata adalah ....
    a. 8 orang d. 36 orang
    b. 16 orang e. 38 orang
    c. 32 orang
    Alasan:
    9. Bentuk notasi ilmiah dari 108.000 adalah ....
    a. 10,8 × 104 d. 1,08 × 103
    b. 1,08 × 105 e. 108 × 104
    c. 10,8 × 102
    Alasan:
    10. Bentuk sederhana dari 4a2 b4 × 2a3 b6 adalah ...
    a. 6a5 610 d. 8a5 b24
    b. 6a 6b24 e. 8a6 b24
    c. 8a5 b10
    Alasan:
    11. Bentuk sederhana dari ababab325473×−− adalah ....
    a. ab d. a15 b– 5
    b. ab–5 e. a15 b–6
    c. a8 b–6
    Alasan:
    1. Anggota dari himpunan A = {x –4 ≤ x < 6, x ∈ C} adalah ....
    a. {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
    b. {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
    c. {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
    d. {0,1, 2, 3, 4, 5}
    e. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    Alasan:
    2. Bilangan-bilangan berikut adalah bilangan rasional, kecuali....
    a. 59 d. 3,142857142....
    b. 13 e. 0,345345....
    c. 0,595959....
    Alasan:
    3. Hasil dari 32514656−+= ....
    a. 21630 d. 256
    b. 21730 e. 2150
    c. 22730
    Alasan:
    4. Nilai dari 23561375×+:= ....
    a. 4863 d. 5163
    b. 4963 e. 5263
    c. 5063
    Alasan:
    5. Pak Budi mempunyai 125 ha tanah. Kemudian 13 dari luas tanah keseluruhan tersebut dijual kepada Pak Anto. Luas tanah yang dijual oleh Pak Budi adalah ... ha.
    a. 415 d. 815
    b. 425 e. 1115
    c. 715
    Alasan:
    Latihan Ulangan Semester 1
    A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
    Uji Kompetensi Semester 1 49
    12. Bentuk sederhana dari ppp121316×−− adalah ....
    a. 16 d. 43
    b. 13 e. 53
    c. 23
    Alasan:
    13. 6258p dapat ditulis sebagai ....
    a. 5 b2 d. 25 b4
    b. 5 b4 e. 25 b3
    c. 25 b2
    Alasan:
    14. Bentuk sederhana dari 3575− adalah ....
    a. 3353512+ d. 335152+
    b. 335352+ e. 33582+
    c. 3351512+
    Alasan:
    15. Bentuk sederhana dari 3737−+ adalah ....
    a. 837+ d. 137+
    b. 837− e. 237−
    c. 137−
    Alasan:
    16. Bentuk sederhana dari 20103− adalah ....
    a. 25+ d. 355+
    b. 155+ e. 35+
    c. 45+
    Alasan:
    17. Nilai x jika xlog 125 = 3 adalah ....
    a. 3 d. 6
    b. 4 e. 7
    c. 5
    Alasan:
    18. Jika blog 4 = 3 dan blog 5 = 7 maka nilai dari blog 80 adalah ....
    a. 11 d. 14
    b. 12 e. 15
    c. 13
    Alasan:
    19. Nilai dari 3log (18 × 9) adalah ....
    a. 4 d. 7
    b. 5 e. 8
    c. 6
    Alasan:
    20. Jika 4log 3 = p; 4log 5 = q; dan 4log 8 = r maka nilai dari 4log 15 + 4log 8 adalah ....
    a. p + q + r d. p + 2q + r
    b. 2p +q + r e. pq + r
    c. 2pqr+
    Alasan:
    21. Jika log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771; dan log 7 = 0,8451 maka nilai dari log 213 adalah ....
    a. 0,4207 d. 1,4407
    b. 0,4407 e. 1,4427
    c. 0,4427
    Alasan:
    22. Nilai x dari 12 log (x + 2) + log 5 = 1 adalah ....
    a. 1 d. 4
    b. 2 e. 5
    c. 3
    Alasan:
    23. abcbcalogloglog111⋅⋅=
    ....
    a. 1 – abc d. –1
    b. 1 + abc e. 2
    c. 1
    Alasan:
    24. Nilai dari log 33.000 adalah ....
    a. 1,518 d. 4,5158
    b. 2,5158 e. 1,56
    c. 3,5158
    Alasan:
    25. Nilai dari 15log 30 adalah ....
    a. 0,256 d. 12,56
    b. 0,1256 e. 1,56
    c. 1,256
    Alasan:
    50 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK B. Jawablah soal-soal berikut.
    1. Tentukan hasil dari:
    a. 117213215×+
    b. 32715676−+
    2. Seorang ayah mewariskan 18 ekor sapi kepada 3 orang anaknya dengan aturan sebagai berikut: putra yang sulung mendapat 12 dari jumlah sapi; putra kedua mendapat 13 dari jumlah sapi; putra ke tiga mendapatkan sisanya. Tanpa memotong seekor sapi pun, berapa ekor masing-masing anak mendapatkan bagiannya?
    3. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.
    a. 62548124fgh
    b. abba793106
    4. Jika log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699, tentukan:
    a. 273
    b. 403
    5. Dwi menabung di sebuah bank dengan bunga 8% per hari. Jika tabungan awal adalah Rp1.000.000,00, harus berapa lama Dwi menabung agar jumlah tabungannya tiga kali lipatnya?

0 komentar:

Poskan Komentar