Tahukah Anda, berapa jarak antara matahari dan bumi? Ternyata jarak antara
matahari dan bumi adalah 150.000.000 km. Penulisan jarak antara matahari
dan bumi dapat ditulis dengan bilangan pangkat. Bagaimana caranya?
Pangkat bilangan bulat dapat berupa bilangan bulat positif, nol, atau
negatif.
1. Pangkat Bulat Positif
a. Pengertian Pangkat Bulat Positif
Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca "a
pangkat n") adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya
adalah a. Jadi, pangkat bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk
an a a a a
n
= × × ×... ×
sebanyak faktor
dengan: a = bilangan pokok (basis);
n = pangkat atau eksponen;
an = bilangan berpangkat.
Dengan menggunakan konsep bilangan pangkat penulisan jarak antara
matahari dan bumi, yaitu 150.000.000 km dapat ditulis dengan cara yang lebih
ringkas, yang dikenal sebagai notasi ilmiah, yaitu 1,5 × 108 km.
Contoh Soal 2.1
Tentukan nilai dari pemangkatan berikut.
a. 34 b.
2
5
3
c. (–1)7
Jawab:
a. 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
b.
2
5
3
= 2
5
2
5
2
5
× × = 8
125
c. (–1)7 = (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = –1
Tes Kompetensi Awal
Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.
1. Sederhanakanlah bentuk pangkat berikut:
a. (4a)–2 × (2a)3 c. 3
9
3 4 6
2 2
⋅ −
− −
m n p
m np
b. (2a2)3 : 4a3
2. Hitunglah nilai dari:
a. 81 8
7
1
4
2
3
1
( ) + ( )
−
b. 125 4
3
3
2
3 2
2
5
7
5
( ) − +
−
−
3. Jika a = 2 2 + 3 dan b = 3 2 −1 maka hitunglah
nilai dari:
a. 2a + b b. a · b
4. Tentukan nilai x dari persamaan eksponen berikut:
5 25 x+3 = 4 x+5
5. Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut:
a. 2log 48 + 5log 50 – 2log3 – 5log 2
b. a log 3 a × a log a a
c. 3 5 4 3
4
3
3 2
16
3 log log
log
log
+ −
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 21
b. Sifat-Sifat Operasi Pemangkatan
1) Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
Untuk a ∈ R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku:
am × an = am + n
Bukti:
am × an = a a a a a a a a
m n
× × × ... × × × × × ... ×
sebanyak faktor sebanyak
faktor
= a a a a a a a a
m n
× × × × × × × × ×
+
... ...
sebanyak faktor
= am + n (terbukti)
2) Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
Untuk a ∈ R, a ≠ 0 dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n.
a a
a
a
m n a
m
n
: = = m−n
Bukti:
am : an =
a a a a
a a a a
m
n
× × × ×
× × × ×
...
...
sebanyak faktor
sebanyak f
aktor
= a a a a
m n
× × × ×
−
...
sebanyak ( ) faktor
= am – n (terbukti)
3) Sifat Pangkat dari Bilangan Berpangkat
Untuk a ∈ R dan m, n bilangan bulat positif, berlaku:
(am)n = am · n
Bukti:
(am)n = am am am am
n
× × ×... ×
sebanyak faktor
= (a a ... a) (a a ... a) ... (a a ... a)
m n
× × × × × × × × × × × ×
sebanyak × faktor
= am · n (terbukti)
4) Sifat Pangkat dari Perkalian Bilangan
Untuk a, b ∈ R dan n bilangan bulat positif, berlaku:
(a · b)n = an · bn
Bukti:
(a · b)n = ab ab ab ab
n
× × ×... ×
sebanyak faktor
= (a a a ... a) (b b b ... b)
n
× × × × × × × × ×
sebanyak faktor sebanya
k n faktor
= an · bn (terbukti)
5) Sifat Pangkat dari Pembagian Bilangan
Untuk a, b ∈ R, b ≠ 0 dan n bilangan bulat positif, berlaku:
a
b
a
b
n n
n
=
Bukti:
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
n
= × × ×... ×
=
a a a a
b b b b
n
n
× × × ×
× × × ×
...
...
sebanyak faktor
sebanyak f
aktor
=
a
b
n
n (terbukti)
Solusi
Bentuk sederhana dari 23 × (22)3
adalah ....
a. 27 d. 212
b. 28 e. 218
c. 29
Jawab:
23 × (22)3 = 23 × 26
= 23 + 6
= 29
Jawaban: c
Sumber: UN SMK 2005
22 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika ContohContohContohContohSoalSoal 2.3
Tentukan nilai dari pemangkatan bilangan-bilangan berikut.
a. 60 b. (2a)0 c. x y 3 4 0
4
JawabJawab:
a. 60 = 1
b. (2a)0 = 1, dengan syarat a ≠ 0
c.
x y 3 4 0
4
= 1, dengan syarat x ≠ 0 dan y ≠ 0
Contoh Soal 2.2
Sederhanakanlah bentuk pemangkatan berikut.
a. p5 × p10 × p4 d. (3x2 y)2
b. (x2)4 e.
a b
a b
7 5
5 2
2 ⋅
⋅
c. 26 : 24
Jawab:
a. p5 × p10 × p4 = p19 (sifat perkalian bilangan pangkat)
b. (x2)4 = x2 · 4 = x8 (sifat pangkat dari bilangan berpangkat)
c. 26 : 24 = 26 – 4 = 22 = 2 × 2 = 4 (sifat pembagian bilangan pangkat)
d. (3x2y)2 = 32(x2)2y2 (sifat pangkat dari perkalian bilangan) = 32x4y2 (sifat pangkat dari bilangan pangkat) = 9x4y2
e. a b
a b
a b
a b
a b
7 5
5 2
2
7 552 2
2 3 2
2 2 3 2
æ
è
çççç
ö
ø
÷÷÷÷
= ( )
=( )
=( )()
=
- -
a b 4 6
(sifat pangkat dari bilangan pangkat)
(sifat pangkat dari perkalian bilangan)
(sifat pembagian bilangan pangkat)
2. Pangkat Bulat Negatif dan Nol
a. Bilangan Berpangkat Nol
Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 maka
a0 = 1
Bukti:
a0 = an–n
= a
a
n
n (sifat pembagian bilangan berpangkat) =
a aaa
a aaa
n
n
× ×××
× ×××
...
...
faktor
faktor
= 1
Jadi, a0 = 1.
00 tidak terdefinisi.
karena:
00 = 0n–n
=
=
=
0
0
0
0
n
n
TD
Catatan
tidak terdefinisi
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 23
Solusi
Bentuk sederhana dari abab−−()12393 adalah ....
a. a5b3
b. a6b3
c. a6b8
d. a7b6
e. a8b3
Jawab:
a
babababababab−−−××−−−−−−()−()===⋅=1239313239336933963ab63
Jawaban: b
Sumber: UN SMK 2006
b. Bilangan Berpangkat Negatif
Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 didefinisikan:
aann–=1
Definisi ini berasal dari bentuk berikut.
Misalkan aaaaaaaaaammnmmnnmmnmmnn::()+−+−+====1
maka aann–=1.
Contoh Soal 2.4
1. Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat di bawah ini ke dalam pangkat negatif.
a. a4 b. x3 y2 c. 152pq
Jawab:
a. a4=-14a
b. xyxy323211×=×=´----132xy
c. 1115252pqpq=⋅=⋅pq––52
2. Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini ke dalam pangkat positif.
a. p−5 b. 3–3pq–2 c. xyz21252−−−
Jawab:
a. pp–551=
b. 332−−=pq13132pq
c. xzxyzxyzy21252125225212112−−−−−−===425xzy
Latihan Soal 2.1
1. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.
a. m5 × m7
b. 2a5 × 5a2 × 3a
c. 125343aaa××
d. (53x5y) × (52y4)
e. 7143246pqrpqr()×
2. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.
a. 510 : 58
b. a3b : ab4
c. (2p3q5r2) : (4pq2r2)
d. 2733522xyzxyz
Kerjakanlah soal-soal berikut.
24 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika B. Bentuk Akar
1. Konsep Bilangan Irasional
Pada Bab 1, Anda telah diperkenalkan mengenai bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan irasional didefinisikan sebagai bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan ab dengan a , b ∈B dan b ≠ 0. Sedangkan bilangan rasional adalah blangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan ab dengan a , b, ∈B dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional:
a. π = 3,141592 ...
b. e = 2,718281 ...
c. 21414213=, ...
d. 7= 2, 6457...
Contoh bilangan rasional:
a. 17990171717=,...
b. 930000=, ...
c. 4 = 4,0000 ...
d. 1616666159,,...==
Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat pada bilangan bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar merupakan bilangan irasional.
2. Bentuk Akar
Dalam bilangan bentuk akar (radikal), ada 3 bagian yang perlu diketahui, yaitu lambang bentuk akar, radikan, dan indeks. Secara umum, bentuk akar ditulis dalam bentuk:
a
n
(an dibaca "akar pangkat n dari a")
InfoMath
Notasi radikal diperkenalkan pertama kali pada 1525 oleh seorang ahli aljabar Jerman, Christoff Rudolf (1500–1545) dalam bukunya yang berjudul Die Coss. Simbol ini dipilih karena kelihatan seperti huruf r dari kata radix, yang dalam bahasa latin berarti akar.
Sumber: Finite Mathematics and It's Applications, 1994
e. 1232252433573babababab×
3. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.
a. (2p)3
b. (3m2n5)3
c. (–4 m3 n4)2 : (64 m n2)3
d. xyz325
e. abab234261−−()()
4. Sederhanakan bentuk pangkat berikut. Kemudian, nyatakan dalam pangkat positif.
a. 33337654−−−××
b. (–2a3b–1) : (2a–2b3)2
c. xyxy22212⋅−4
d. cdcd−−−−11
e. 112ab−−+
5. Jika a = 2 dan b = 3, tentukan nilai dari:
a. abab−−−−++1122
b. ababbaab−()+−⋅+()−−−3231
c. 11111−+−ab
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 25
Anda
Pasti Bisa
Di antara bilangan-bilangan berikut, manakah yang merupakan bentuk akar?
a. 0016,
b. 35,
c. 025,
d. 169,
e. 0036,
f. 0625,
dengan: an disebut bentuk akar (radikal),
disebut lambang bentuk akar,
n disebut indeks (pangkat akar),
a disebut radikan (bilangan di bawah tanda akar), dengan a bilangan riil positif untuk n bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa bilangan riil negatif.
Bentuk akar terbagi atas 2 jenis:
1. Akar Senama
Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama.
Contoh:
a. 235,,, mempunyai indeks 2
b. 51011333,,, mempunyai indeks 3.
2. Akar sejenis
Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama.
Contoh:
22252333,, mempunyai indeks 3, radikannya 2
Seperti halnya bilangan pangkat, bentuk akar pun memiliki sifat-sifat tertentu, yaitu sebagai berikut:
Untuk a, b bilangan riil dengan n bilangan asli yang sesuai berlaku:
1. ababnnn×=×
2. ababnnn=
3. paqapqannn±=±()
Sifat-sifat bentuk akar di atas menjelaskan bahwa perkalian dua bentuk akar senama dengan indeks n, sama dengan perkalian radikan dari masing-masing bentuk akar dengan indeks n. Hal demikian berlaku juga untuk operasi pembagian bentuk akar senama. Untuk penjumlahan dan pengurangan dengan bentuk akar sejenis maka yang dijumlahkan atau dikurangkannya adalah koefisien dari masing-masing bentuk akar, lalu dikalikan dengan bentuk akar tersebut.
Contoh Soal 2.5
1. Dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar, sederhanakanlah bentuk akar berikut.
a. 54 b. 72 c. 225 d. 1283
Jawab:
a. 549696=×=×=36
b. 72362362=×=×=62
c. 225225==25
d. 1286426423333=×=×=423
2. Sederhanakanlah operasi bentuk pangkat berikut.
a. 4532055+− b. 2323352+()−() Solusi
Bentuk sederhana dari:
2
8181432200+++
adalah ....
a. 142 d. 202
b. 172 e. 212
c. 182
Jawab:
2
8181432200222321442102423212102+++×++×++++===182
Jawaban: c
Sumber: Ebtanas 1998
26 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 3. Pangkat Tak Sebenarnya
Bilangan berpangkat dengan pangkat nol, bulat negatif, dan pecahan disebut juga sebagai bilangan berpangkat tak sebenarnya. Adapun bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif disebut juga bilangan berpangkat sebenarnya.Untuk sebarang nilai a dengan a ≠ 0, m bilangan bulat, n bilangan asli, dan
n ≥ 2 berlaku:
a. aann=1
b. aamnmn=
Bilangan an1 dan amn disebut bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.
Jawab:
a. 453205535325553565553655+−=+()−=+−=+−()=45
b. 2323352631063652187610+()−()=⋅−+−⋅=−−=−8 76
Latihan Soal 2.2
1. Tentukan nilai dari bentuk akar berikut ini. Kemudian, manakah yang merupakan bilangan irasional?
a. 83 d. 2435
b. 004, e. 0036,
c. 323
2. Sederhanakanlah operasi bentuk pangkat berikut.
a. 15024254−+
b. 3108275512++
c. 127222752+−
d. 322−()
e. 253253+()+()
f. 522322−()−()
g. 362632+()−()
3. Diketahui p=+575, q=+612 dan r=−827. Tentukan bentuk paling sederhana dari 2p + q – 2r.
4. Diketahui, sebuah persegipanjang dengan panjang 7233−() cm dan lebar 223+() cm. Berapa luas persegipanjang tersebut?
5. Jika x = 235+−() dan y = 235+−(), tentukan nilai dari x · y.
Kerjakanlah soal-soal berikut.
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 27
Anda
Pasti Bisa
Nilai dari:
(
)()....6412515231612=
a. 0,16
b. 1,6
c. 6,4
d. 16
e. 64
Contoh Soal 2.6
1. Ubahlah bilangan-bilangan berikut ke dalam bentuk bilangan dalam bentuk pangkat tak sebenarnya.
a. x b. 53 c. p34 d. a105
Jawab:
a. x=x12
b. 53=513
c. p34=p34
d. aa105105==a2
2. Ubahlah bilangan berikut ke dalam bentuk akar:
a. x213() c. 32535xy⋅
b. 634p() d. 243212xy()
Jawab:
a. xxx2132323()==
b. 666216343433434pppp()=()==
c. 33325352315235xyxyxy=()=
d. 222444432124123122122323212xyxyxyyxyxxxyx()=()()()===××=
4. Sifat-Sifat Operasi Pangkat Tak Sebenarnya
Untuk a, b ∈ R dengan a, b ≠ 0, serta p, q bilangan rasional maka berlaku sifat-sifat operasi pangkat tak sebenarnya sebagai berikut.
1. ap × aq = a p+q
2. ap : aq = ap–q
3. (ap)q = ap·q
4. (a · b)p = ap · bp
5. ababbppp=≠,0
6. aaapp–,=≠10
28 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika Contoh Soal 2.7
Sederhanakan operasi bentuk pangkat tak sebenarnya dari:
a. xx2343× c. abc46712()
b. aa2532: d. 23776
Jawab:
a. xxxxx23432343632´===+
b. aaaaaaaaaa2532253241015101110111011010111:=====×=---
c. abcabcabccabcc46712237223312233()===
d. 22223776377612æèççççöø÷÷÷÷===´
Operasi pada bilangan bentuk pangkat tak sebenarnya menjelaskan bahwa pada dasarnya operasi yang berlaku sama dengan operasi pada bilangan bentuk pangkat sebenarnya. Perlu diperhatikan di sini bahwa pangkat yang dipakai adalah pangkat bilangan nol, bilangan bulat negatif, dan bilangan pecahan.
Latihan Soal 2.3
1. Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk pangkat sebenarnya:
a. ab23
b. 46xy
c. x3
d. 16864xy
2. Nyatakan bilangan berikut ke dalam bentuk akar:
a. 523−
b. 2213pq−
c. ab23414⋅
d. x2128−()−
3. Tentukan hasil operasi dari:
a. 2781025423131252()+()+()−−
b. 12581273133452()−()+
Kerjakanlah soal-soal berikut.Anda
Pasti Bisa
Tentukan bentuk sederhana dari 2513154xx.
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 29
C. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Dalam suatu bentuk operasi bilangan, ada kalanya bilangan tersebut memiliki penyebut dalam bentuk akar, seperti: 1533123253,,+−.
Bentuk-bentuk bilangan tersebut dapat disederhanakan dengan cara merasionalkan penyebut pecahan-pecahan tersebut. Kegiatan merasionalkan pada intinya mengubah bentuk akar pada penyebut menjadi bentuk bilangan rasional, yang pada akhirnya bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana.
Suatu bentuk pecahan yang memuat bilangan bentuk akar dikatakan sederhana jika dipenuhi:
1. setiap bilangan bentuk akarnya sudah dalam bentuk sederhana, dan
2. tidak ada bentuk akar pada penyebut jika bilangan tersebut pecahan.
Pada bagian ini, Anda akan mempelajari mengenai cara merasionalkan berbagai bentuk pecahan agar lebih sederhana.
1. Pecahan Bentuk ab
Bentuk akar ab dengan b ≠ 0 dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan dengan b sehingga:
a
babbbabb=×=
4. Jika x = 25 dan y = 64, tentukan nilai dari
xyyx−⋅−32231312
5. Tentukan bentuk sederhana dari:
a. 164435
b. 155251625004444×××,
Contoh Soal 2.8
Sederhanakanlah penyebut dari bentuk pecahan berikut.
a. 36 b. 53 c. 233 d. 2313+
Jawab:
a. 363666366126=´==
b. 52352333123151615=´=×=
c. Agar penyebut 33 dapat dirasionalkan, maka 33 dikalikan dengan 323 sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut:
23233329323933232333=´==
d. 2313231323133333333333+=+=+==´==
30 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 2. Pecahan Bentuk ab–c
Untuk menyederhanakan bentuk pecahan abc+ atau abc− adalah dengan mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebut. Bentuk sekawan dari bc+ adalah bc−. Sebaliknya, bentuk sekawan dari bc− adalah bc+ sehingga
abcabcbcbcabcbc+=+´--=-()-2
abcabcbcbcabcbc-=-´++=+()-2
Contoh Soal 2.9
Sederhanakan penyebut dari bentuk pecahan berikut.
a. 435− b. 271+ c. 3223+
Jawab:
a. 435435353543595435435-=-´++=+()-=+()=+
b. 2712717171271712716713+=+´--=-()-=-()=–
c. 32233223223223263389263313326+=+´--=--=--=–Solusi
Bentuk sederhana dari 435+
adalah ....
a. 35
b. 45+
c. 35+
d. 45−
e. 35−
Jawab:
4
3543535354359512454+=+×−−=×−()−=−=35−−
Jawaban: e
Sumber: UN SMK 2006
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 31
3. Pecahan Bentuk ab–c
Dan untuk menyederhanakan penyebut dari bentuk pecahan abc+ atau abc−, yaitu dengan cara mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebutnya. Bentuk sekawan dari bc+ adalah bc−. Sebaliknya, bentuk sekawan dari bc− adalah bc+ sehingga
abcabcbcbcabcbc+=+´--=-()-
abcabcbcbcabcbc-=-´++=+()-Solusi
Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari 61510− adalah ....
a. −−25153510
b. 25153510−
c. 35102515−
d. −+25153510
e. 35102515+
Jawab:
6
15106151015101510615101510906053102155−=+×++=×+()−=+=+=35110+2515
Jawaban: e
Sumber: Ebtanas 1998
Sederhanakanlah penyebut dari bentuk pecahan berikut.
a. 7256+ b. 2363− c. 12145−−
Jawab:
a. 7256725625625672562067256142562+=+´--=-()-=-()=–
b. 23632363636321823636263222-=-´++=+×-=+=+
c. 1214512145145145145281014514527109--=--´++=+---=+––
Contoh Soal 2.10
32 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 4. Menyederhanakan Bentuk Akara+b–2ab()⋅
Bentuk abab+()±⋅2 dapat diubah menjadi bentuk ab±() dengan syarat a, b ∈ R dan a > b.
Bukti:
a
baabbababababab±()=±×+=+()±±=+()±2222
Jadi, ababab+()±=±2
Sederhanakan bentuk akar berikut.
a. 12220− c. 1162+
b. 21280+ d. 5526−
Jawab:
a. 1222010221021021022-=+()-×=-()=–
b. 212801652165165165452+=+()+×=+()=+()=+
c. 11621123211218922929292322+=+×=+=+()+×=+()=+()=+
d. 5526532532323255232552-=-=-´++=+()-=+()
Contoh Soal 2.11Anda
Pasti Bisa
Nilai dari 79265656132xyxyx−−−− untuk x = 4 dan y = 27 adalah ....
a. 12292+()
b. 12293+()
c. 122183+()
d. 122272+()
e. 122273+()
Sumber: UAN 2002
(cari faktor dari 80 yang jika faktornya dijumlahkan bernilai 21)
(cari faktor dari 18 yang jika faktornya dijumlahkan bernilai 11)
(penyebutnya diubah menjadi
5
2632−=−)
(cari faktor dari 20 yang jika dijumlahkan bernilai 12)
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 33
D. Logaritma
Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari mengenai bilangan berpangkat, misalnya 24 = 16, 2 disebut sebagai basis, 4 sebagai pangkat (eksponen), dan 16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4. Jika pertanyaannya dibalik, 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, Anda akan menjawab 4. Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis:
24 = 16 ⇔ 2log 16 = 4
Secara umum:
Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
alog x = n ⇔ x = an
dengan: a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;
x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0
n = hasil logaritma.
(alogx dibaca"logaritma x dengan basis a")
Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.
Latihan Soal 2.4
1. Sederhanakan penyebut dari bentuk akar berikut.
a. 52 d. 211 g. 984
b. 623 e. −365 h. 3253
c. −410 f. 723
2. Sederhanakanlah penyebut dari bentuk akar berikut.
a. 372− d. 3322+−
b. 5105+ e. 327327−+
c. 32622− f. 524724−+
3. Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut.
a. 15254+ d. 1147+
b. 928− e. 128212+
c. 20103− f. 5238215−−
4. Dengan merasionalkan penyebut, tentukan bentuk sederhana dari:
a. 26235++
b. 1112016524−+−−
c. 3134312++()
5. Jika diketahui sebuah persegipanjang PQRS dengan panjang 223+ cm dan lebar 2523+ cm.
Tentukan:
a. keliling persegipanjang tersebut;
b. luas persegipanjang tersebut.
Kerjakanlah soal-soal berikut.
34 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 1. Sifat-Sifat Logaritma
a. Sifat 1
Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:
alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1
Bukti:
• Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Jadi, a1 = a ⇔ alog a = 1
• Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu. Jadi, a0 = 1 ⇔ alog 1 = 0
• Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1
b. Sifat 2
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
alog x + alog y = alog xy
Bukti:
alog x = n ⇔ an = x
alog y = m ⇔ am = y
alog xy = p ⇔ ap = xy
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
xy = anam ⇔ xy = an+m
ap = an+m ⇔ p = n+m
Contoh Soal 2.12
1. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat.
a. 3log 9 = 2
b. 511253log=−
c. 2log 32 = 2p
Jawab:
a. 3log 9 = 2 ⇔ 9 = 32
b. 5112531125log=−⇔=53–
c. 2log 32 = 2p ⇔ 32 = 22p
2. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.
a. 72−=149
b. 2432a=
c. 33332pp=
Jawab:
a. 71492−=⇔7log149=2–
b. 2432a=⇔2log4=32a
c. 33332pp=⇔33log3=32ppSolusi
Nilai dari 2log 3 + 2log 8 – 2log 6 adalah ....
a. 3 d. 1
b. 2 e. 12
c. 32
Jawab:
2log 3 + 2log 8 – 2log6 =
2
22223864222loglogloglog×====2
Jawaban: b
Sumber: UN SMK 2003
InfoMath
John Napier
(1550–1617)
Metode logaritma pertama kali dipublikasikan oleh matematikawan Scotlandia, yaitu John Napier pada 1614 dalam bukunya yang berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Metode ini memberikan kontribusi yang besar untuk kemajuan ilmu pengetahuan, salah satunya pada bidang astronomi dengan menjadikan perhitungan rumit menjadi mudah.
Sumber: en.wikipedia.org
Sumber: cantiques.karaokes.free.fr
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 35
Maka:
n = alog x, m = alog y dan p = alog xy, sehingga
alog x + alog y = alog xy
c. Sifat 3
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:
a
aaxyxylogloglog−=
Bukti:
alog x = n ⇔ an = x
alog y = m ⇔ am = y
apxypaxylog=⇔=
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:
xyaaxyaaapnmnmnmpnm=⇔=⇔=⇔=−−−
Jadi,aaaxyxylogloglog−=.
d. Sifat 4
Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
alog xn = n alog x
Bukti:
ananfaktoraaxxxxxxxloglog(...)loglog.=××××=++ ...loglog+=anfaktoraxnx
Jadi, alog xn = n alog x.
e. Sifat 5
Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
a
namxnmxloglog=
Bukti:
alog x = p ⇔ ap = x
anmqnmxqaxlog=⇔=⋅
Dari bentuk pangkat di atas diperoleh:
xn = am · q ⇔ (ap)n = amq
⇔ anp = amq ⇔ np = mq
⇔ qnmp=
Jadi, anamxnmxloglog=.Solusi
Nilai dari 2log 48 + 5log 50 – 2log 3 – 5log 2 adalah ....
a. –2 d. 2
b. –6 e. 6
c. 1625
Jawab:
2
5252255248503248350248logloglogloglogloglogloglog+−−⇔−+−⇔335021625525+⇔+⇔logloglog4+2=6
Jawaban: e
Sumber: UN SMK 2005
36 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 1. Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
a. 2log 6 + 2log 18 – 2log 27
b. 33393227logloglog+−
c. 8log 32 + 8log 16 – 8log 128
Jawab:
a. 22222222618276182742222logloglogloglogloglog+-=×===×=
b. 3333231233339322733232312loglogloglogloglogloglo+-×=+-×=+×gglog32332126124723-×=+-=-=-
c. 8888822232161283216128422323logloglogloglogloglog++=×===×=223
2. Tentukan nilai x dari bentuk logaritma
loglogloglogx=+−13891327
Jawab:
logloglogloglogloglog()logxsifat=+-=+-=1389132789274213133(()+-()=+-=×==133139329329366logloglogloglogloglogloglogxx==6
Contoh Soal 2.13Solusi
Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka nilai dari log 75 = ....
a. 0,7781 d. 1,2552
b. 0,9209 e. 1,8751
c. 1,0791
Jawab:
log 75 = log 3004
= log 300 – log 4
= log 100 + log 3 – 2 log 2
= 2 + 0,4771 – 2(0,3010)
= 2,4771 – 0,6020
= 1,8751
Jawaban: e
Sumber: UN SMK 2003
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 37
f. Sifat 6
Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:
a
ppxxxxaloglogloglog==1
Bukti:
alog x = n ⇔ x = an
log x = log an (sifat 4 logaritma)
⇔=⇔=loglogloglogxnanxapp
⇔=appxxalogloglog (terbukti)
Jika p = x maka
axxxxxaaloglogloglog==1
g. Sifat 7
Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:
alog x · xlog y = alog y
Bukti:
alog x = p ⇔ ap = x
xlog y = q ⇔ xq = y
Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh
y = xq ⇔ y = (ap)q
⇔ y = apq
⇔ alog y = alog apq
⇔ alog y = pq alog a
⇔ alog y = pq
⇔ alog y = alog x · xlog y
h. Sifat 8
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
a
xaxlog=
Bukti:
annxxxnaxxaxaaxaalog.loglog=⇔==⇔==Jadi,
i. Sifat 9
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:
a
xnxnalog=
Bukti:
nxpxpxaxaaxaannpnnxnxnaaloglog,.loglog=⇔====JadiAnda
Pasti Bisa
Jika diketahui log x = a dan log y = b, log1032xy = ....
a. 1032ab
b. 302ab
c. 10 (3a – 2b)
d. 10 + 3a – 2b
e. 1 + 3a – 2b
Sumber: UN SMK 2004
38 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika Contoh Soal 2.14
1. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, nyatakan 12log 30 dalam a dan b.
Jawab:
12333333303012656435logloglog()loglogloglog==×()×()=+sifat66432523215233333233loglog()logloglogloglog+=+×()+=++sifat3333221112111212loglog×+=++æèçççöø÷÷÷+=+++=+++baaabaaaaabaaaabaa=+++12
2. Sederhanakanlah bentuk logaritma berikut.
a. 2log 25 × 3log 8 × 5log 9
b. 2952325724logloglog−+
Jawab:
a. 235223352235258952325322logloglogloglogloglogloglo´´=´´=´´gglogloglogloglogloglog3232523125321222352532=×××´´=×´´=×=112112×=
b. 29573572572325352252724222222loglogloglogloglog-+=-()+=-+=--+=-+=45742552log
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 39
Selain menggunakan tabel, perhitungan logaritma suatu bilangan dapat juga dilakukan dengan menggunakan kalkulator. Kalkulator yang dapat digunakan untuk menghitung logaritma adalah kalkulator ilmiah.
Catatan
2. Menentukan Logaritma Berbasis 10 dari Suatu Bilangan dengan Menggunakan Tabel Logaritma
Dalam perhitungan matematika, untuk logaritma biasanya digunakan basis 10. Pada logaritma dengan basis 10, bilangan pokok 10 biasanya tidak ditulis. Selanjutnya, Anda akan mempelajari tabel logaritma (Tabel 2.1) seperti berikut.
Latihan Soal 2.5
1. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma.
a. 7712= d. 35pq=
b. 2142q= e. 481x+=
c. axmn+=
2. Nyatakan bentuk logaritma berikut ke dalam bentuk pangkat.
a. 21325log=− d. 224loga=
b. 312logx= e. 4243⋅=logr
c. 521logpq+()=
3. Tentukan nilai x dari logaritma berikut.
a. 2log (2x – 6) = 3
b. 3logx2 = 2
c. 5log (x2 – 2x + 22) = 2
4. Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
a. 12log 3 + 12log 4
b. 3log 16 + 3log 5 – 3log 4
c. 4log 200 – 4log 25
d. 131213137562536logloglog+−
e. 3581161243125312loglogloglog+−−
5. Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
a. 5log4 × 2log 3 × 9log 5
b. 643127368logloglog××
c. 54275231032logloglog++
d. 9163345322312loglogloglog+−5
6. Jika a = 5log 1; b = 10log 0,01; c = 5log 0,2;
d =128log.
Tentukan nilai dari abcd−+()2.
7. Jika 2log (2x–1) = 4; ylog 0,125 = –3;
22logz=, tentukan nilai dari x · y · z.
8. Jika log 2 = x dan log 3 = y, tentukan nilai dari
5log24.
9. Jika 5log 3 = a dan 3log 4 = b, tentukan nilai dari
12log75.
10. Jika 2log 3 = a, tentukan nilai dari nilai dari
327342114logloglog++.
Kerjakanlah soal-soal berikut.
40 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0000
3010
4771
6021
6990
7782
8451
9031
9542
1
0000
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
2
3010
3222
3424
3617
3802
3979
4150
4314
4472
4624
3
4771
4914
5051
5158
5315
5441
5563
5682
5798
5911
4
6021
6128
6232
6335
6435
6532
6628
6721
6812
6902
5
6990
7076
7160
7243
7324
7404
7482
7559
7634
7709
6
7782
7853
7924
7993
8062
8129
8195
8261
8325
8388
7
8451
8513
8573
8533
8692
8751
8808
8865
8921
8976
8
9031
9085
9138
9191
9243
9294
9345
9395
9445
9494
9
9542
9590
9638
9638
9731
9777
9823
9868
9912
9956
10
0000
0043
0086
0128
0170
0212
0253
0294
0334
0374
11
0414
0453
0492
0531
0569
0607
0645
0682
0719
0755
12
0792
0828
0864
0899
0934
0969
1004
1038
1072
1106
13
1139
1173
1206
1239
1271
1303
1335
1367
1399
1430
14
1461
1492
1523
1553
1584
1614
1644
1673
1703
1732
15
1761
1790
1818
1847
1875
1903
1931
1959
1987
2014
16
2041
2068
2095
2122
2148
2175
2101
2227
2253
2279
17
2304
2330
2355
2380
2405
2430
2455
2480
2404
2529
18
2553
2577
2601
2625
2648
2672
2695
2718
2742
2765
19
2788
2810
2833
2856
2878
2900
2993
2945
2967
2989
20
3010
3032
3054
3075
3096
3118
3139
3160
3181
3201
21
3222
3243
3263
3284
3304
3324
3345
3365
3385
3304
22
3424
3444
3464
3483
3502
3522
3541
3560
3579
3598
23
3617
3636
3655
3674
3692
3711
3729
3747
3766
3784
24
3802
3820
3838
3856
3874
3892
3909
3927
3945
3962
25
3978
3997
4014
4031
4048
4065
4082
4099
4116
4133
26
4150
4165
4183
4200
4216
4232
4249
4265
4281
4298
27
4314
4330
4346
4362
4378
4393
4409
4425
4440
4456
28
4472
4487
4502
4518
4533
4548
4564
4579
4594
4609
29
4624
4639
4654
4669
4683
4698
4713
4728
4742
4757
30
4771
4785
4800
4814
4829
4843
4857
4871
4886
4900
Tabel 2.1 Tabel Logaritma
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 41
karakteristik mantisa
Sebelum menentukan nilai logaritma dengan menggunakan tabel ini,
Anda perlu memahami terlebih dahulu hal-hal yang berhubungan dengan
tabel logaritma tersebut.
Logaritma suatu bilangan nilainya terdiri atas dua bagian, yaitu
karakteristik (bilangan yang terletak di depan koma desimal) dan mantisa
(bilangan yang terletak di belakang koma).
Contoh:
log 4 ,65 =
}
0 , 667
}
Dalam tabel logaritma terdapat kolom-kolom, kolom pertama (disebut
kolom N). Dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan yang berurutan mulai
dari 0 sampai dengan 1000. Baris judul pada kolom kedua sampai dengan
kolom kesebelas dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka 0,1,...,9.
Pada kolom-kolom tersebut dari atas ke bawah memuat mantisa, yang terdiri
atas 4 angka (digit).
Besar karakteristik dari logaritma dapat ditentukan berdasarkan nilai
numerusnya.
alog x = n
a. Jika 1 < x < 10 karakteristiknya 0
b. Jika 10 < x < 100 karakteristiknya 1
c. Jika 100 < x < 1000 karakteristiknya 2
Berikut akan diberikan langkah-langkah mencari logaritma suatu bilangan
dengan tabel logaritma, seperti pada Contoh Soal 2.15.
Tugas 2.1
Dengan menggunakan tabel
logaritma dari sifat-sifat
logaritma, hitunglah:
1. log 3 7
2. log 15
3. log
1
27
Kemudian, diskusikan hasilnya
dengan temanmu.
Contoh Soal 2.15
Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan:
a. log 2,6;
b. log 2,65;
c. log 26,5;
d. log 265.
Jawab:
a. log 2,6 = 0,...
Bagian desimalnya (mantisa) diperoleh dari pertemuan antara baris
yang memuat angka 2 dan kolom yang memuat angka 6, yaitu 4150.
Jadi, log 2,6 = 0, 4150.
b. log 2,65 = 0,...
Bagian desimalnya (mantisa) diperoleh dari pertemuan antara baris
yang memuat angka 26 dan kolom yang memuat angka 5, yaitu 4232.
Jadi, log 2,65 = 0, 4232.
c. log 26,5 = 1,...
Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (b) tersebut. Jadi
log 26,5 = 1,4232.
d. log 265 = 2,...
Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (b) dan (c) tersebut.
Jadi log 265 = 2,4232.
Tabel logaritma yang lebih
lengkap dapat Anda lihat di
akhir halaman buku ini.
Catatan
DigiMath
Perhitungan pada Contoh Soal
2.15 (a) dapat juga dilakukan
dengan bantuan kalkulator.
Kalkulator yang digunakan di
sini adalah kalkulator jenis FX-
3600 PV seperti pada gambar
berikut.
Cara untuk menentukan log 2,6
adalah sebagai berikut. Tekanlah
tombol-tombol
sehingga hasil yang diperoleh
adalah 0,414973348 ≈ 0,4150.
2 • 6 log
Sumber: world.casio.com
42 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika Jika numerus dari logaritma 0 < x < 1 maka sebelum dilogaritmakan, nyatakan bilangan itu dalam bentuk baku a × 10–n dengan 1 ≤ a ≤ 10, n bilangan bulat positif.
Daftar logaritma juga merupakan daftar antilogaritma. Artinya, jika diketahui log a = 0,4955, berapakah nilai a? Untuk lebih memahaminya, pelajarilah contoh-contoh berikut.
Contoh Soal 2.16
Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan:
a. log 0,471;
b. log 0,087;
c. log 0,00984.
Jawab:
a. log 0,471= log 4,71 × 10–1
= log 4,71 + log 10–1
= log 4,71 – 1
= 0,673 – 1
= –0,327
b. log 0,087= log 8,7 × 10–2
= log 8,7 + log 10–2
= log 8,7 – 2
= 0,939 – 2
= –1,061
c. log 0,00984 = log 9,84 × 10–3
= log 9,84 + log 10–3
= log 9,84 – 3
= 0,993 – 3
= –2,007 Tugas 2.2
Dengan menggunakan kalkulator, hitunglah nilai-nilai logaritma pada Contoh Soal 2.15 dan Contoh Soal 2.16. Kemudian bandingkanlah apakah hasilnya sama?
Contoh Soal 2.17
Tentukan nilai x dengan menggunakan anti logaritma berikut:
a. log x = 0,2304
b. log x = 1,2304
c. log x = –0,752
d. log x = –1,752
Jawab:
a. log x = 0,2304
Mantisa dari 0,2304 adalah 2304, bilangan 2304 dapat Anda temukan pada pertemuan antara baris yang memuat angka 17 dan kolom yang memuat angka 0. Oleh karena karakteristiknya 0 maka numerusnya adalah satuan. Jadi, log x = 0,2304 maka x = 1,7.
b. log x = 1,2304
Langkah -langkah yang dilakukan sama seperti pada contoh soal (a), yang membedakan adalah nilai dari karakteristiknya yang memuat angka 1 maka numerusnya adalah puluhan. Jadi, log x = 1,2304 maka x = 17.
DigiMath
Untuk menghitung antilpgaritma dari Contoh Soal 2.17 (a) dengan bantuan kalkulator, terutama untuk kalkulator scientific FX-3600 PV, dapat dilakukan dengan menekan tombol-tombol sebagai berikut.
Sehingga hasil yang diperoleh adalah 1,73957308 ≈ 1,714
0
4
Shift
log
0
•
2
3
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 43
c. log x = –0,752
= 0,248 – 1
= log 1,77 – log 10
= log,log,177100177=
x = 0,177
d. log x = –1,752
= 0,248 – 2
= log 1,77 – log 100
= log,177100
x = 0,0177
Latihan Soal 2.6
1. Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan:
a. log 7,56 d. log 0,591
b. log 80,5 e. log 0,0642
c. log 756,1 f. log 0,00021
2. Dengan menggunakan tabel anti logaritma, tentukan nilai x dari:
a. log x = 0,843 d. log x = 3,463
b. log x = 0,794 e. log x = –0,257
c. log x = 1,72 f. log x = –2,477
Kerjakanlah soal-soal berikut.
44 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika Rangkuman
1. Bilangan berpangkat an (dibaca: "a pangkat n") adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a.
2. Bilangan berpangkat bulat positif secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk:
aaaaannfaktor=××××...
dengan: a = bilangan pokok
n = pangkat atau eksponen
3. Sifat-sifat bilangan pangkat
Untuk a ∈ R dan m, n bilangan bulat positif berlaku:
a. am × an = am+n
b. aaaaamnmnmn:==−
c. (am)n = a m×n
d. (ab)n = anbn
e. ababnnn=, b ≠ 0
Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 berlaku a0 = 1
Untuk a ∈ R dan a ≠ 0 berlaku aann−=1
4. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ab.
untuk a, b ∈ B, b ≠ 0
5. Bilangan bentuk akar ditulis dalam bentuk an
dengan: a = radikan;
n = indeks (pangkat akar);
= lambang bentuk akar.
6. Sifat-sifat bilangan bentuk akar
Untuk a, b bilangan bulat maka berlaku
a. ababnnn×=×
b. ababnnn=
c. paqapqannn±=±()
7. Hubungan antara bentuk akar dengan pangkat tak sebenarnya, yaitu:
Untuk sebarang a dengan a ≠ 0 berlaku:
a. aann=1
b. aamnmn=
8. Logaritma didefinisikan sebagai kebalikan dari bentuk pangkat sehingga berlaku
alog x = n ⇔ x = an
9. Sifat-sifat logaritma
Untuk a, x, dan y bilangan riil positif dan a ≠ 1 maka berlaku:
a. alog a = 1
b. alog x + alog y = alog xy
c. alog x – alog y = axylog
d. alog xn = n alog x
e. anamxnmxloglog=
f. appxxxaaloglogloglog==1
g. alog x xlog y = alog y
h. axaxlog=
i. axnxnalog=
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 45
Bilangan Pangkat
Definisi dan Sifat
Pangkat Bulat Positif
Definisi
Definisi
Sifat
Penggunaan Tabel Logaritma
Pangkat Bulat Negatif dan Nol
Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat Tak Sebenarnya beserta Sifat-Sifatnya
Bentuk Akar
Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Logaritma
meliputi
mempelajari
mempelajari
mempelajari
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma
Kata Mutiara
Ketika satu pintu tertutup, pintu lain terbuka, namun terkadang kita melihat dan menyesali pintu tertutup tersebut terlalu lama hingga kita tidak melihat pintu lain yang telah terbuka.
Alexander Graham Bell
Alur Pembahasan
Perhatikan alur pembahasan berikut:
Materi tentang Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma dapat digambarkan sebagai berikut.
46 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK M atematika 8. Bentuk notasi ilmiah dari 83.256 adalah ....
a. 8,3256 × 102 d. 83,256 × 102
b. 8,3256 × 104 e. 8,3256 × 103
c. 8,3256 × 105
Alasan:
9. Nilai dari 3log729 adalah ....
a. 5 d. 8
b. 6 e. 9
c. 7
Alasan:
10. Jika 2log 12 = 3,6 dan 2log 3 = 1,6 maka nilai dari 2log 36 adalah ....
a. 4,2 d. 5,6
b. 4,6 e. 6,2
c. 5,2
Alasan:
11. 2log 16 + 2log 4 – 2log 2 = ....
a. 3 d. 6
b. 4 e. 7
c. 5
Alasan:
12. 221613loglog....+=
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
Alasan:
13. Jika, log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771; dan log 5 = 0,6990 maka nilai dari log30 adalah ....
a. 1,4771 d. 0,73855
d. 1,08805 e. 0,21365
c. 0,7855
Alasan:
14. Jika log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771; dan log 7 = 0,8451 maka nilai dari log 123 adalah ....
a. 1,0791 d. 0,3597
b. 1,2791 e. 3,2373
c. 0,3797
Alasan:
1. Bentuk akar dari a × a × a × a adalah ....
a. a + 4 d. 4 × a
b. 4a e. 6a7
c. a4
Alasan:
2. Bentuk sederhana dari 3a2 × 2a4 adalah ....
a. 5a6 d. 5a8
b. 6a8 e. 6a7
c. 6a6
Alasan:
3. Bentuk sederhana dari (p2)5 × (p2)3 adalah ....
a. p12 d. p35
b. p16 e. p60
c. p15
Alasan:
4. Bentuk sederhana dari aaa423−− adalah ....
a. a6 d. a-5
b. a5 e. a-11
c. a-1
Alasan:
5. Bentuk 12533asama dengan ....
a. 25a3 d. 5a9
b. 25a e. 5a3
c. 5a
Alasan:
6. Bentuk sederhana dari 543− adalah ....
a. 51343+() d. 5743−()
b. 51343−() e. 543−
c. 5743+()
Alasan:
7. Bentuk sederhana dari 2568− adalah ....
a. 23040+() d. 3040−
b. −+()3040 e. −+3040
c. 3040+
Alasan:
Latihan Soal Bab 2
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma 47
15. Diketahui 9log 5 = n maka 3log 125 dapat dinyatakan dengan ....
a. 5n d. n5
b. n6 e. n6
c. 6n
Alasan:
16. Bentuk sederhana dari bentuk akar 7210+ adalah ....
a. 25−() d. 71−()
b. 25+() e. 17−()
c. 17+()
Alasan:
17. Jika xlog 6 = p dan xlog 8 = q maka 3p – q adalah ....
a. xlog 1 d. xlog 10
b. xlog 3 e. xlog 30
c. 3 xlog 3
Alasan:
18. Jika alog b = x dan blog d = y maka dlog a dinyatakan dalam x dan y adalah ....
a. x + y d. xy
b. x – y e. xy
c. x – y
Alasan:
19. Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka nilai dari log 75 = ....
a. 0,7781 d. 1,2552
b. 0,9209 e. 1,8751
c. 1,0791
Alasan:
20. Jika log (2x + 10) = 2, nilai x adalah ....
a. 2 d. 45
b. 7 e. 90
c. 9
Alasan:
B. Jawablah soal-soal berikut.
1. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.
a. 3e7p6 × 5e2p4
b. abba793106
c. 2552372xyxy−−
2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut, kemudian sederhanakan.
a. 565+ c. 3568−
b. 7532+ d. 35422522−−
3. Sederhanakan soal-soal berikut.
a. 2log 4 + 2log 32
b. log 2 + log 50
c. 2log 160 – 2log 20
d. 3log 81 + 3log 9
e. 6log 96 – 6log 16
4. Jika, 4log3 = x; 4log5 = y; dan 4log8 = z, hitunglah:
a. 4log 15 + 4log 8
b. 4log 2 + 4log 20
c. 4log 40 – 4log 15
5. Eli menabung di bank sebesar Rp 3.500.000,00 yang memberikan bunga 7% per tahun. Hitunglah jumlah uang Eli setelah ditabungkan selama 6 bulan.
Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK
48
6. Jika harga 1 kg minyak kelapa Rp9.500,00 maka harga 234 kg minyak kelapa tersebut adalah ....
a. Rp25.225,00 d. Rp26.125,00
b. Rp25.525,00 e. Rp27.225,00
c. Rp25.875,00
Alasan:
7. Tabungan unit produksi SMK terdiri atas tabungan kria logam 25 bagian, tabungan kria kayu 13 bagian, tabungan kria tekstil 16 bagian, dan sisanya tabungan kria kulit. Besar tabungan kria kulit adalah ....
a. 110 bagian d. 57 bagian
b. 27 bagian e. 910 bagian
c. 310 bagian
Alasan:
8. Dalam satu kelas, siswa yang berkacamata ada 2%. Jika jumlah seluruh siswa ada 40 orang, maka banyaknya siswa yang tidak berkacamata adalah ....
a. 8 orang d. 36 orang
b. 16 orang e. 38 orang
c. 32 orang
Alasan:
9. Bentuk notasi ilmiah dari 108.000 adalah ....
a. 10,8 × 104 d. 1,08 × 103
b. 1,08 × 105 e. 108 × 104
c. 10,8 × 102
Alasan:
10. Bentuk sederhana dari 4a2 b4 × 2a3 b6 adalah ...
a. 6a5 610 d. 8a5 b24
b. 6a 6b24 e. 8a6 b24
c. 8a5 b10
Alasan:
11. Bentuk sederhana dari ababab325473×−− adalah ....
a. ab d. a15 b– 5
b. ab–5 e. a15 b–6
c. a8 b–6
Alasan:
1. Anggota dari himpunan A = {x –4 ≤ x < 6, x ∈ C} adalah ....
a. {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
b. {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
c. {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
d. {0,1, 2, 3, 4, 5}
e. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Alasan:
2. Bilangan-bilangan berikut adalah bilangan rasional, kecuali....
a. 59 d. 3,142857142....
b. 13 e. 0,345345....
c. 0,595959....
Alasan:
3. Hasil dari 32514656−+= ....
a. 21630 d. 256
b. 21730 e. 2150
c. 22730
Alasan:
4. Nilai dari 23561375×+:= ....
a. 4863 d. 5163
b. 4963 e. 5263
c. 5063
Alasan:
5. Pak Budi mempunyai 125 ha tanah. Kemudian 13 dari luas tanah keseluruhan tersebut dijual kepada Pak Anto. Luas tanah yang dijual oleh Pak Budi adalah ... ha.
a. 415 d. 815
b. 425 e. 1115
c. 715
Alasan:
Latihan Ulangan Semester 1
A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.
Uji Kompetensi Semester 1 49
12. Bentuk sederhana dari ppp121316×−− adalah ....
a. 16 d. 43
b. 13 e. 53
c. 23
Alasan:
13. 6258p dapat ditulis sebagai ....
a. 5 b2 d. 25 b4
b. 5 b4 e. 25 b3
c. 25 b2
Alasan:
14. Bentuk sederhana dari 3575− adalah ....
a. 3353512+ d. 335152+
b. 335352+ e. 33582+
c. 3351512+
Alasan:
15. Bentuk sederhana dari 3737−+ adalah ....
a. 837+ d. 137+
b. 837− e. 237−
c. 137−
Alasan:
16. Bentuk sederhana dari 20103− adalah ....
a. 25+ d. 355+
b. 155+ e. 35+
c. 45+
Alasan:
17. Nilai x jika xlog 125 = 3 adalah ....
a. 3 d. 6
b. 4 e. 7
c. 5
Alasan:
18. Jika blog 4 = 3 dan blog 5 = 7 maka nilai dari blog 80 adalah ....
a. 11 d. 14
b. 12 e. 15
c. 13
Alasan:
19. Nilai dari 3log (18 × 9) adalah ....
a. 4 d. 7
b. 5 e. 8
c. 6
Alasan:
20. Jika 4log 3 = p; 4log 5 = q; dan 4log 8 = r maka nilai dari 4log 15 + 4log 8 adalah ....
a. p + q + r d. p + 2q + r
b. 2p +q + r e. pq + r
c. 2pqr+
Alasan:
21. Jika log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771; dan log 7 = 0,8451 maka nilai dari log 213 adalah ....
a. 0,4207 d. 1,4407
b. 0,4407 e. 1,4427
c. 0,4427
Alasan:
22. Nilai x dari 12 log (x + 2) + log 5 = 1 adalah ....
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5
c. 3
Alasan:
23. abcbcalogloglog111⋅⋅=
....
a. 1 – abc d. –1
b. 1 + abc e. 2
c. 1
Alasan:
24. Nilai dari log 33.000 adalah ....
a. 1,518 d. 4,5158
b. 2,5158 e. 1,56
c. 3,5158
Alasan:
25. Nilai dari 15log 30 adalah ....
a. 0,256 d. 12,56
b. 0,1256 e. 1,56
c. 1,256
Alasan:
50 Matematika Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK B. Jawablah soal-soal berikut.
1. Tentukan hasil dari:
a. 117213215×+
b. 32715676−+
2. Seorang ayah mewariskan 18 ekor sapi kepada 3 orang anaknya dengan aturan sebagai berikut: putra yang sulung mendapat 12 dari jumlah sapi; putra kedua mendapat 13 dari jumlah sapi; putra ke tiga mendapatkan sisanya. Tanpa memotong seekor sapi pun, berapa ekor masing-masing anak mendapatkan bagiannya?
3. Sederhanakan bentuk pangkat berikut.
a. 62548124fgh
b. abba793106
4. Jika log 2 = 0,301 dan log 5 = 0,699, tentukan:
a. 273
b. 403
5. Dwi menabung di sebuah bank dengan bunga 8% per hari. Jika tabungan awal adalah Rp1.000.000,00, harus berapa lama Dwi menabung agar jumlah tabungannya tiga kali lipatnya?
0 komentar: